Le but est de résoudre un système d’équations à trois inconnues:
⎩⎨⎧y−2x+z=11+y−z=x3x+2y−5z=4
On détermine les valeurs des variables qui satisfont les trois équations.
Note : Chaque équation représente un plan dans l’espace. Les solutions du système sont les points d’intersection des trois plans. Il est donc possible que le système d’équations ait une unique solution, une infinité de solutions, ou même pas du tout de solution si les trois plans sont parallèles.
Méthodepar substitution
1.
Résous une des équations en une variable.
2.
Substitue dans les autres équations: remplace la variable par l’expression obtenue.
On obtient deux équations à deux inconnues.
3.
Résous une des équations obtenues en une variable.
4.
Dans l’autre équation obtenue, remplace la variable par le nouveau terme.
5.
Résous l’équation obtenue.
6.
Calcule les valeurs des autres variables en introduisant les résultats obtenus.
Exemple
⎩⎨⎧2x+3y+2z=2x−y=10−5z4x=5−2y+3z
Résous la deuxième équation enx:
x=10−5z+y
Substitue xdans la première équation :
2(10−5z+y)+3y+2z=25y−8z=−18
Substitue xdans la troisième équation :
4(10−5z+y)=5−2y+3z6y−23z=−35
Résous la première équation obtenue en y:
y=−518+58z
Introduis dans la deuxième équation obtenue et résous :
6(−518+58z)−23z=−35
z=1
Substitue la valeur dez:
y=−2x=3
Solutions :S=(3;−2;1)
Méthode par combinaison linéaire
MÉTHODE
1.
Transforme les équations :
Toutes les variables d’un côté
Toutes les constantes de l’autre côté
Conseil : Aligne les mêmes variables les unes sous les autres.
2.
Ajuste les coefficients d’une variable : multiplie les équations de sorte que le coefficient d’une des variables soit le même dans deux équations.
3.
Soustrais une équation à une autre. La variable choisie à l’étape 2 a été éliminée de l’équation résultante.
4.
Répète les étapes 2 et 3 pour les deux équations restantes.
On obtient un système de deux équations à deux inconnues.
5.
Résous ce nouveau système d’équations.
6.
Introduis les valeurs trouvées dans une des équations de départ pour calculer la valeur de la dernière variable.
Exemple
⎩⎨⎧2x+3y+2z=2x−y=10−5z4x=5−2y+3z
Transforme :
2x+3y+2z=2x−y+5z=104x+2y−3z=5
Ajuste le coefficient de x:
2x+3y+2z=2x−y+5z=10 → multiplier par 2 de chaque côté
2x+3y+2z=22x−2y+10z=20
Première équation moins deuxième équation :
0+5y−8z=−18
Répète :ajuste le coefficient de x:
x−y+5z=10 → multiplier par 4 de chaque côté
4x+2y−3z=5
4x−4y+20z=404x+2y−3z=5
Deuxième équation moinstroisième équation :
0−6y+23z=35
Résous le système d’équations et calcule les valeurs des variables.
{5y−8z=−18−6y+23z=35
Solutions :S=(3;−2;1)
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Durée:
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Unité 1
Systèmes d'équations à trois inconnues
Test final
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment appliquer la méthode de la combinaison linéaire ?
Ajuste les coefficients d’une variable : multiplie les équations de sorte que le coefficient d’une des variables soit le même dans deux équations.
Comment utiliser un système d'équation en géométrie ?
Chaque équation représente un plan. Dans une équation à trois inconnues, les solutions du système sont les points d’intersection des trois plans.
Comment résoudre une équation à trois inconnues ?
Résous une des équations en une variable, substitue dans les autres équations : remplace la variable par l’expression obtenue. On obtient deux équations à deux inconnues. Tu peux alors résoudre le système comme un système à deux inconnues.
