Systèmes d’équations à trois inconnues

Résoudre un système d’équations à trois inconnues

Le but est de résoudre un système d’équations à trois inconnues :

$\begin{cases} y-2x+z=1\\1+y-z=x\\3x+2y-5z=4\end{cases}$

On détermine les valeurs des variables qui satisfont les trois équations.

Note : Chaque équation représente un plan dans l’espace. Les solutions du système sont les points d’intersection des trois plans. Il est donc possible que le système d’équations ait une unique solution, une infinité de solutions, ou même pas du tout de solution si les trois plans sont parallèles.

Méthode par substitution

1.	Résous une des équations en une variable.
2.	Substitue dans les autres équations : remplace la variable par l’expression obtenue. On obtient deux équations à deux inconnues.
3.	Résous une des équations obtenues en une variable.
4.	Dans l’autre équation obtenue, remplace la variable par le nouveau terme.
5.	Résous l’équation obtenue.
6.	Calcule les valeurs des autres variables en introduisant les résultats obtenus.

Exemple

$\left\{\ \begin{matrix}2x+3y+2z=2\\x-y=10-5z\\4x=5-2y+3z\\\end{matrix}\right.$

Résous la deuxième équation en $x$ :

$x=10-5z+y$ 

Substitue $x$ dans la première équation :

$2\left(10-5z+y\right)+3y+2z=2\\5y-8z=-18$ 

Substitue $x$ dans la troisième équation :

$4\left(10-5z+y\right)=5-2y+3z\\6y-23z=-35$ 

Résous la première équation obtenue en $y$ :

$y=-\frac{18}{5}+\frac{8z}{5}$ 

Introduis dans la deuxième équation obtenue et résous :

$6\left(-\frac{18}{5}+\frac{8z}{5}\right)-23z=-35$ 

$\underline{z=1}$ 

Substitue la valeur de $z$ :

$\underline{y=-2}\\\underline{x=3}$ 

Solutions : $S={\ (3\ ;\ -2\ ;1)\ }$ 

Méthode par combinaison linéaire

MÉTHODE

1.	Transforme les équations : Toutes les variables d’un côté Toutes les constantes de l’autre côté Conseil : Aligne les mêmes variables les unes sous les autres.
2.	Ajuste les coefficients d’une variable : multiplie les équations de sorte que le coefficient d’une des variables soit le même dans deux équations.
3.	Soustrais une équation à une autre. La variable choisie à l’étape 2 a été éliminée de l’équation résultante.
4.	Répète les étapes 2 et 3 pour les deux équations restantes. On obtient un système de deux équations à deux inconnues.
5.	Résous ce nouveau système d’équations.
6.	Introduis les valeurs trouvées dans une des équations de départ pour calculer la valeur de la dernière variable.

Exemple

$\left\{\ \begin{matrix}2x+3y+2z=2\\x-y=10-5z\\4x=5-2y+3z\\\end{matrix}\right.$

Transforme :

$2x + 3y + 2z = 2\\x - y + 5z = 10\\4x + 2y - 3z = 5$ 

Ajuste le coefficient de $x$ :

$2x + 3y + 2z = 2\\x - y + 5z = 10$ → multiplier par 2 de chaque côté

$2x + 3y + 2z = 2 \\2x - 2y + 10z = 20$ 

Première équation moins deuxième équation :

$0 + 5y - 8z = -18$ 

Répète : ajuste le coefficient de $x$ :

$x - y + 5z = 10$ → multiplier par 4 de chaque côté

$4x + 2y - 3z = 5$ 

$4x - 4y + 20z = 40 \\4x + 2y - 3z = 5$ 

Deuxième équation moinstroisième équation :

$0 - 6y + 23z = 35$ 

Résous le système d’équations et calcule les valeurs des variables.

$\left\{\ \begin{matrix}5y-8z=-18\\-6y+23z=35\\\end{matrix}\right.$ 

Solutions : $S={\ (3\ ;\ -2\ ;1)\ }$ 