Primitives : opérations et compositions

Primitives de fonctions de base

Fonction	$f(x)$	Une primitive $F(x)$
Fonction constante	$a$	$ax$
Fonction puissance	$x^n\\\text{avec }n\in\Z\backslash\{-1:0\}$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
Inverse	$\frac1x$	$\ln(\|x\|)$
Inverse de racine	$\frac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x$
Fonction exponentielle	$e^x$	$e^x$
Fonctions trigonométriques	$\sin(x)$	$-\cos(x)$
Fonctions trigonométriques	$\cos(x)$	$\sin(x)$

Conseil : Vérifie si une primitive correspond à une fonction en dérivant la primitive.

$F' (x)=f(x)$

Opérations et compositions

Parfois, la fonction dont tu cherches la primitive est composée de plusieurs autres fonctions. Le tableau suivant récapitule les compositions de primitives importantes.

Opérations	$f(x)$	Une primitive $F(x)$
Multiplication par un réel	$k\times u'(x)$	$k\times u(x)$
Addition	$u'(x)+v'(x)$	$u(x)+v(x)$
Multiplication	$u(x)^n\times u'(x)$	$\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}$
Division	$\frac{u'(x)}{u(x)}$	$\ln(\|u(x)\|)$
Inverse de racine	$\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$	$2\sqrt{u(x)}$
Avec fonction exponentielle	$u'(x)\times e^{u(x)}$	$e^{u(x)}$
Avec fonctions trigonométriques	$\sin(u(x))\times u'(x)$	$-\cos(u(x))$
Avec fonctions trigonométriques	$\cos(u(x))\times u'(x)$	$\sin(u(x))$

Exemple

$f(x)=2x+\frac{1}{\sqrt x}$

Retrouve les fonctions et $u(x)$ $v(x)$  :

Fonctions			Dérivées
$u(x)=x^2$			$u'(x)=2x$
$v(x)=2\sqrt x$			$v'(x)=\frac{1}{\sqrt x}$

Retrouve la primitive de $f(x)$  à l’aide des tableaux :

$\underline{x^2+2\sqrt 2}$

Exemple

$f(x)=2xe^{x^2}$ 

Retrouve la fonction $u(x)$  :

Fonction	Dérivée
$u(x)=x^2$	$u'(x)=2x$

Retrouve la primitive de $f(x)$  à l’aide des tableaux :

$\underline{e^{x^2 } }$