Propriétés et valeur moyenne de l'intégrale

Propriétés 

Positivité de l’intégrale 

Si $$f$$​ est positive sur tout l’intervalle, alors son intégrale est positive aussi : 

​$$f(x)≥0 \text{ sur } [a;b]⇒∫_a^bf(x)dx≥0$$​​

Croissance de l’intégrale 

Si $$f$$​ prend des valeurs plus grandes qu’une autre fonction $$g$$​ sur tout l’intervalle, alors l’intégrale de $$f$$​ prend une valeur plus grande que l’intégrale de $$g$$​ : 

​$$f(x)≥g(x) \text{ sur } [a;b]⇒∫_a^bf(x)dx≥∫_a^bg(x)dx$$​​

Note : $$dx$$​ t’indique que la variable d’intégration est $$x$$​. Parfois dx est remplacé par $$dt$$​, ce qui veut dire que la variable d’intégration est $$t$$​. Le même principe s’applique pour toute autre lettre choisie. 

Valeur moyenne 

La valeur moyenne de $$f$$​ sur l’intervalle $$]a;b[$$​ est le nombre : 

​$$μ=\frac{1}{b-a} ∫_a^bf(x)dx$$​​

Exemple  

Calcule la valeur moyenne de $$f(x)=3x^2-3$$​ sur l’intervalle $$]1;5[$$​. 

Calcule d’abord l’intégrale : 

​$$∫_1^5(3x^2-3)dx\\=[3 \frac{x^3}{3}-3x]_1^5=[x^3-3x] ^5_1\\=(5^3-3×5)-(1-3)=112$$​​

Utilise la formule pour calculer la moyenne : 

​$$μ=\frac{1}{5-1} ∫_1^53x^2-3 dx=\frac14×112=\underline{28}$$​​