Propriétés et valeur moyenne de l'intégrale

Propriétés

Positivité de l’intégrale

Si $f$ est positive sur tout l’intervalle, alors son intégrale est positive aussi :

$f(x)≥0 \text{ sur } [a;b]⇒∫_a^bf(x)dx≥0$

Croissance de l’intégrale

Si $f$ prend des valeurs plus grandes qu’une autre fonction $g$ sur tout l’intervalle, alors l’intégrale de $f$ prend une valeur plus grande que l’intégrale de $g$ :

$f(x)≥g(x) \text{ sur } [a;b]⇒∫_a^bf(x)dx≥∫_a^bg(x)dx$

Note : $dx$ t’indique que la variable d’intégration est $x$ . Parfois dx est remplacé par $dt$ , ce qui veut dire que la variable d’intégration est $t$ . Le même principe s’applique pour toute autre lettre choisie.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $]a;b[$ est le nombre :

$μ=\frac{1}{b-a} ∫_a^bf(x)dx$

Exemple

Calcule la valeur moyenne de $f(x)=3x^2-3$  sur l’intervalle $]1;5[$ .

Calcule d’abord l’intégrale :

$∫_1^5(3x^2-3)dx\\=[3 \frac{x^3}{3}-3x]_1^5=[x^3-3x] ^5_1\\=(5^3-3×5)-(1-3)=112$

Utilise la formule pour calculer la moyenne :

$μ=\frac{1}{5-1} ∫_1^53x^2-3 dx=\frac14×112=\underline{28}$