Équation cartésienne de plan

Un plan peut être décrit à l’aide d’une équation cartésienne ou d’une représentation paramétrique.

Équation cartésienne

$$E∶\ ax+by+cz+d=0$$​​

Cela équivaut à écrire $$W:\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x=-d$$​ avec $$\overrightarrow n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$​ et $$\overrightarrow x\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$​.

​$$a,b,c$$​​	Coordonnées du vecteur normal $$\overrightarrow n$$​
​$$d$$​​	Nombre réel

Note : On peut avoir un nombre infini de représentations différentes pour le même plan. Chaque vecteur perpendiculaire au plan peut être un vecteur normal $$\overrightarrow n$$​.

Représentation paramétrique

La représentation paramétrique consiste en un triplet $$(P,\overrightarrow u, \overrightarrow v)$$​, appelé repère du plan.

Chaque point $$M$$​ du plan peut ainsi s’écrire comme combinaison linéaire de deux vecteurs du plan :

$$\overrightarrow{PM}=s\overrightarrow u + t \overrightarrow v$$​, $$\ \ \ s,\ t\in\mathbb{R}$$​

​$$P$$​​	« Origine du repère » : point quelconque sur le plan
​$$\overrightarrow u, \overrightarrow v$$​​	« Vecteurs directeurs » : vecteurs quelconques qui engendrent le plan
​$$s, t$$​​	« Paramètres » : allongent ou raccourcissent les deux vecteurs directeurs de facteurs quelconques.

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Écrire l’équation d’un plan

Établir une équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur normal

Un point $$P=\left(p_x;p_y;\ p_z\right)$$​ du plan et un vecteur $$\overrightarrow n = \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}$$​ normal au plan sont donnés.

MÉTHODE

Note : Tu peux aussi calculer la valeur $$d$$​ grâce au produit scalaire entre le vecteur allant de l’origine au point $$P$$​ et le vecteur normal:

$$-d=\overrightarrow n \cdot \overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}= a\times p_x+b\times p_y+c\times p_z$$​​

Exemple

Donnés : point $$\ P\left(1;4;2\right)\$$ et vecteur normal $$\overrightarrow n = \begin{pmatrix} 2\\3\\-1\end{pmatrix}$$​

Calcule la valeur $$d$$​ :

$$d=-\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}=-(2+12-2)=-12$$​​

Écris l’équation cartésienne du plan :

$$E:\ \ \ \ 2x+3y-z-12=0$$​​

Établir une représentation paramétrique à partir de 3 points

Trois points $$A$$​, $$B$$​ et $$C$$​ sur un plan sont donnés.

MÉTHODE

Exemple 

Donnés : les points $$A(2;1;-1)$$, $$\ B(3;4;1)\$$ et $$\ C(2;3;2)$$​

Calcule les vecteurs directeurs :

$$M=\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}$$​ appartient au plan si et seulement s’il existe $$\ s,t\in\mathbb{R},$$​ tel que :

$$\left(\begin{matrix}m_1-2\\m_2-1\\m_3+1\\\end{matrix}\right)=s\left(\begin{matrix}1\\3\\2\\\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}0\\2\\3\\\end{matrix}\right)$$​