Un plan peut être décrit à l’aide d’une équation cartésienne ou d’une représentation paramétrique.
Équation cartésienne
E∶ax+by+cz+d=0
Cela équivaut à écrireW:n⋅x=−davecn=abcetxxyz.
a,b,c
Coordonnées du vecteur normaln
d
Nombre réel
Note : On peut avoir un nombre infini de représentations différentes pour le même plan. Chaque vecteur perpendiculaire au plan peut être un vecteur normaln.
Représentation paramétrique
La représentation paramétrique consiste en un triplet(P,u,v), appelé repère du plan.
Chaque point Mdu plan peut ainsi s’écrire commecombinaison linéaire de deux vecteurs du plan :
PM=su+tv,s,t∈R
P
«Origine du repère»: point quelconque sur le plan
u,v
« Vecteurs directeurs » : vecteurs quelconques qui engendrent le plan
s,t
« Paramètres » : allongent ou raccourcissent les deux vecteurs directeurs de facteurs quelconques.
Écrire l’équation d’un plan
Établir une équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur normal
Un pointP=(px;py;pz)du plan et un vecteurn=abcnormal au plan sont donnés.
MÉTHODE
1.
Écris l’équation à l’aide des coordonnées du vecteur n:
ax+by+cz+d=0
2.
Remplace les inconnuesetpar les coordonnées du pointpour trouver la valeur ded.
a×px+b×py+c×pz+d=0d=−(a×px+b×py+c×pz)
Note : Tu peux aussi calculer la valeurdgrâce au produit scalaire entre le vecteur allant de l’origine au pointPet le vecteur normal:
−d=n⋅AP=pxpypz⋅abc=a×px+b×py+c×pz
Exemple
Donnés : point P(1;4;2)et vecteur normaln=23−1
Calcule la valeurd:
d=−142⋅23−1=−(2+12−2)=−12
Écris l’équationcartésienne du plan:
E:2x+3y−z−12=0
Établir une représentation paramétrique à partir de 3 points
Trois pointsA,BetCsur un plan sont donnés.
MÉTHODE
1.
Calcule les vecteurs ABetAC.
2.
Construis la représentation paramétrique en utilisant comme vecteurs directeurs ABet AC:
AM=sAB+tAC
Exemple
Donnés : les pointsA(2;1;−1), B(3;4;1)et C(2;3;2)
Calcule les vecteurs directeurs:
AB=132
AC=023
M=m1m2m3 appartient au plan si et seulement s’il existe s,t∈R, tel que:
m1−2m2−1m3+1=s132+t023
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Durée:
Ceci est la leçon dans laquelle vous vous trouvez actuellement et l'objectif du parcours.
Unité 1
Équation cartésienne de plan
Test final
Testez la révision de toutes les unités pour réclamer une planète de récompense.
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment écrire l'équation d'un plan ?
Écris l’équation à l’aide des coordonnées du vecteur n :
ax+by+cz+d=0.
Remplace les inconnues x,y et z par les coordonnées du point P pour trouver la valeur de d.
Que faut-il intégrer dans l'équation cartésienne d'un plan ?
Un vecteur normal n qui est perpendiculaire au plan, et un nombre réel.
Comment décrire un plan ?
Un plan peut être décrit à l’aide d’une équation cartésienne ou d’une représentation paramétrique.