Système de coordonnées de vecteurs en 2D et 3D

Bases et combinaisons linéaires

N’importe quel vecteur $$\overrightarrow a$$​ de l’espace peut être formé comme combinaison linéaire de trois vecteurs linéairement indépendants $$\overrightarrow i$$​, $$\overrightarrow j$$​ et $$\overrightarrow k$$​. On appelle alors $$\overrightarrow i$$​, $$\overrightarrow j$$​ et $$\overrightarrow k$$​ des vecteurs de base et on dit que $$\overrightarrow a$$​ est une combinaison linéaire de $$\overrightarrow i$$​, $$\overrightarrow j$$​ et $$\overrightarrow k$$​.

Si $$\overrightarrow i$$​, $$\overrightarrow j$$​ et $$\overrightarrow k$$​ sont perpendiculaires l’un à l’autre, ils forment une base orthogonale. Si en plus ils sont tous les trois de longueur $$1$$​, on parle de base orthonormée.

Note : Si les vecteurs $$\overrightarrow i$$​, $$\overrightarrow j$$​ et $$\overrightarrow k$$​ sont linéairement dépendants, ils ne peuvent que générer une ligne (s’ils sont tous colinéaires) ou plan (si deux d’entre eux sont colinéaires). Ils ne forment donc pas une base de l’espace.

Abscisse, ordonnée et cote

Dans une combinaison linéaire $$\overrightarrow a=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k$$​, le scalaire $$x$$​ multipliant $$\overrightarrow i$$​ s’appelle l’abscisse, le scalaire $$y$$​ multipliant $$\overrightarrow j$$​ s’appelle l’ordonnée et le scalaire $$z$$​ multipliant $$\overrightarrow k$$​ s’appelle la cote. Ensemble, on les appelle les coordonnées du vecteur $$\overrightarrow a$$​.

Note : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées $$x$$​, $$y$$​ et $$z$$​ sont égales.

Exemple

Ici, le vecteur $$\overrightarrow a$$​ est égal à une fois le vecteur $$\overrightarrow i$$​ plus trois fois le vecteur $$\overrightarrow j$$​ plus deux fois le vecteur $$\overrightarrow k$$​.

$$\overrightarrow a=\overrightarrow I+3\overrightarrow j+2\overrightarrow k$$​​

Son abscisse est $$1$$​, son ordonnée est $$3$$​ et sa cote est $$2$$​.