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Enseignant: Lomàn

Résumés

Encadrement de l'intégrale

L’encadrement sert à estimer la valeur de l’intégrale d’une fonction dont la primitive est difficile à calculer. 


Note : Lorsqu’un élément est encadré comme suit : M≥∫abf(x)dx≥mM≥∫_a^bf(x)dx≥mM≥∫ab​f(x)dx≥m​, on dit qu’il est majoré par MMM​ et minoré par mmm​. 


Méthode 

1.
Encadre la fonction fff​ à intégrer par des fonctions ggg​ et hhh​ dont la primitive est connue.
Note : Les fonctions seront généralement données par la consigne.
2.
Calcule l’intégrale des fonctions ggg​ et hhh​.
3.
Utilise la propriété vue précédemment : 
​h(x)≥f(x)≥g(x) sur [a;b]⇒∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dxh(x)≥f(x)≥g(x) \text{ sur } [a;b]⇒∫_a^bh(x)dx≥∫_a^bf(x)dx≥∫_a^bg(x)dx h(x)≥f(x)≥g(x) sur [a;b]⇒∫ab​h(x)dx≥∫ab​f(x)dx≥∫ab​g(x)dx​​
4.
Déduis-en une estimation pour la valeur de l’intégrale cherchée.


Exemple 

Encadre l’intégrale ∫0111+x2dx∫_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx∫01​1+x21​dx​ à l’aide des fonctions g(x)=1−x2g(x)=1-\frac x2g(x)=1−2x​​ et h(x)=1−x22h(x)=1-\frac{x^2}{2}h(x)=1−2x2​​. 


On peut facilement trouver une primitive de g(x)g(x)g(x)​ : 


​G(x)=x−x24G(x)=x-\frac{x^2}{4}G(x)=x−4x2​​​


Intègre g(x)g(x)g(x)​ entre les bornes voulues : 


​∫011−x2dx=G(1)−G(0)=1−14−0+0=34∫_0^1 1-\frac{x}{2} dx=G(1)-G(0)=1-\frac14-0+0=\frac34 ∫01​1−2x​dx=G(1)−G(0)=1−41​−0+0=43​​​


On peut facilement trouver une primitive de h(x)h(x)h(x) : 


​H(x)=x−x36H(x)=x-\frac{x^3}{6}H(x)=x−6x3​​​


Intègre h(x)h(x)h(x) entre les bornes voulues : 


​∫011−x22dx=H(1)−H(0)=1−16−0+0=56∫_0^1 1-\frac{x^2}{2} dx=H(1)-H(0)=1-\frac16-0+0=\frac56∫01​1−2x2​dx=H(1)−H(0)=1−61​−0+0=65​​​


Utilise la propriété : 


​56≥∫0111+x2dx≥34‾\underline{\frac{5}{6}≥∫_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx≥\frac{3}{4}}65​≥∫01​1+x21​dx≥43​​​​


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Encadrement de l'intégrale

Unité 1

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment définir si un élément est majoré ou minoré pour une intégrale ?

Lorsqu’un élément est encadré comme suit : M≥∫_{a}^{b}f(x)dx≥m, on dit qu’il est majoré par M et minoré par m.

Comment utiliser la méthode d'encadrement pour une intégrale ?

Commence par encadre la fonction f à intégrer par des fonctions g et h dont la primitive est connue. Calcule ensuite l’intégrale des fonctions g et h. Utilise la propriété de l'encadrement. Et déduis-en une estimation pour la valeur de l’intégrale cherchée.

Qu'est-ce que l'encadrement dans le calcul des intégrales ?

L’encadrement sert à estimer la valeur de l’intégrale d’une fonction dont la primitive est difficile à calculer.

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