Tout pour apprendre mieux...

Accueil

Mathématiques

Calcul intégral

Encadrement de l'intégrale

Encadrement de l'intégrale

Choisir une leçon

Mon livre

Select an option

Vidéo Explicative

Loading...
Enseignant: Lomàn

Résumés

Encadrement de l'intégrale

L’encadrement sert à estimer la valeur de l’intégrale d’une fonction dont la primitive est difficile à calculer. 


Note : Lorsqu’un élément est encadré comme suit : Mabf(x)dxmM≥∫_a^bf(x)dx≥m​, on dit qu’il est majoré par MM​ et minoré par mm​. 


Méthode 

1.
Encadre la fonction ff​ à intégrer par des fonctions gg​ et hh​ dont la primitive est connue.
Note : Les fonctions seront généralement données par la consigne.
2.
Calcule l’intégrale des fonctions gg​ et hh​.
3.
Utilise la propriété vue précédemment : 
h(x)f(x)g(x) sur [a;b]abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dxh(x)≥f(x)≥g(x) \text{ sur } [a;b]⇒∫_a^bh(x)dx≥∫_a^bf(x)dx≥∫_a^bg(x)dx ​​
4.
Déduis-en une estimation pour la valeur de l’intégrale cherchée.


Exemple 

Encadre l’intégrale 0111+x2dx∫_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx​ à l’aide des fonctions g(x)=1x2g(x)=1-\frac x2​ et h(x)=1x22h(x)=1-\frac{x^2}{2}​. 


On peut facilement trouver une primitive de g(x)g(x)​ : 


G(x)=xx24G(x)=x-\frac{x^2}{4}​​


Intègre g(x)g(x)​ entre les bornes voulues : 


011x2dx=G(1)G(0)=1140+0=34∫_0^1 1-\frac{x}{2} dx=G(1)-G(0)=1-\frac14-0+0=\frac34 ​​


On peut facilement trouver une primitive de h(x)h(x) : 


H(x)=xx36H(x)=x-\frac{x^3}{6}​​


Intègre h(x)h(x) entre les bornes voulues : 


011x22dx=H(1)H(0)=1160+0=56∫_0^1 1-\frac{x^2}{2} dx=H(1)-H(0)=1-\frac16-0+0=\frac56​​


Utilise la propriété : 


560111+x2dx34\underline{\frac{5}{6}≥∫_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx≥\frac{3}{4}}​​


Créer un compte pour lire le résumé

Exercices

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment définir si un élément est majoré ou minoré pour une intégrale ?

Comment utiliser la méthode d'encadrement pour une intégrale ?

Qu'est-ce que l'encadrement dans le calcul des intégrales ?

Beta

Je suis Vulpy, ton compagnon de révision IA ! Apprenons ensemble.