Espérance, variance et écart type

Définitions et formules

L’espérance, la variance et l’écart type peuvent être utilisés comme indicateurs des variables aléatoires.

On note $$x_0,\ x_1,\ldots,\ x_n$$​ les valeurs de la variable aléatoire discrète $$X$$​ et $$P_0,\ P_1,\ \ldots,\ P_n$$​ les probabilités respectives des valeurs de .

Exemple 

On lance un dé. Si le nombre obtenu est $$1,2$$ ou $$3$$ le joueur reçoit $$1\ €$$. S’il lance un $$4$$, il obtient $$5\ €$$ et s’il lance un $$5$$ ou un $$6$$ on lui retire $$2\ €$$​. Calcule l’espérance, la variance et l’écart type de cette expérience.

Calcule les probabilités associées aux issues de l’expérience :

Espérance :

$$E\left(X\right)=1\times\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{6}+\left(-2\right)\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx0,67 €$$​​

Variance :

$$V\left(X\right)=\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{2}{3}\right)^2+{\frac{1}{6}\times\left(5-\frac{2}{3}\right)}^2+{\frac{1}{3}\times\left(-2-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{50}{9}\approx5,56 €$$​​

Écart type :

$$\sigma\left(X\right)=\sqrt{\frac{50}{9}}\approx2,36 €$$​​

Propriétés

Avec $$X$$​ et $$Y$$​ deux variables aléatoires indépendantes, l’espérance et la variance ont les propriétés suivantes :

Note : Il découle de ces propriétés que l’espérance est linéaire.

Exemple  

On a deux urnes. La première contient  boules rouges et  boules bleues, la seconde contient  boules vertes,  boule orange et  boules noires.

On tire une boule de la première urne. Si on tire une boule rouge, on nous retire , si on tire une boule bleue, on obtient .

Puis on tire une boule de la deuxième urne. Si on tire du vert, on obtient , si on tire la boule orange, on reçoit , si on tire une boule noire on nous enlève .

Calcule l’espérance et la variance de cette expérience.

Calcule les probabilités associées aux issues de la première expérience :

Calcule les probabilités associées aux issues de la deuxième expérience :

Espérance :

Le joueur a donc plus de chance de perdre s’il jouant au jeu.

Variance :