Espérance, variance et écart type Définitions et formules L’espérance, la variance et l’écart type peuvent être utilisés comme indicateurs des variables aléatoires.
On note x 0 , x 1 , … , x n x_0,\ x_1,\ldots,\ x_n x 0 , x 1 , … , x n les valeurs de la variable aléatoire discrète X X X et P 0 , P 1 , … , P n P_0,\ P_1,\ \ldots,\ P_n P 0 , P 1 , … , P n les probabilités respectives des valeurs de .
Indicateur Signification Formule Espérance
(ou aussi μ \mu μ )
donne la valeur moyenne que prend X X X après un grand nombre de répétition de l’expérience
E ( X ) = x 0 P 0 + x 1 P 1 + … + x n P n = ∑ i = 0 n x i P i E\left(X\right)=x_0P_0+x_1P_1+\ \ldots+x_nP_n=\sum_{i=0}^{n}{x_iP_i} E ( X ) = x 0 P 0 + x 1 P 1 + … + x n P n = i = 0 ∑ n x i P i
Variance V V V
indique la dispersion des valeurs de X X X
V ( X ) = P 0 ( x 0 − E ( X ) ) 2 + P 1 ( x 1 − E ( X ) ) 2 + … + P n ( x n − E ( X ) ) 2 V\left(X\right)={P_0\left(x_0-E\left(X\right)\right)}^2+{P_1\left(x_1-E\left(X\right)\right)}^2+{\ldots+P_n\left(x_n-E\left(X\right)\right)}^2 V ( X ) = P 0 ( x 0 − E ( X ) ) 2 + P 1 ( x 1 − E ( X ) ) 2 + … + P n ( x n − E ( X ) ) 2
= ∑ i = 0 n P i ( x i − E ( X ) ) 2 =\sum_{i=0}^{n}{P_i\left(x_i-E\left(X\right)\right)}^2 = i = 0 ∑ n P i ( x i − E ( X ) ) 2
Écart type σ \sigma σ
racine carrée de la variance
σ ( X ) = V ( X ) \sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} σ ( X ) = V ( X )
Exemple On lance un dé. Si le nombre obtenu est 1 , 2 1,2 1 , 2 ou 3 3 3 le joueur reçoit 1 € 1\ € 1 € . S’il lance un 4 4 4 , il obtient 5 € 5\ € 5 € et s’il lance un 5 5 5 ou un 6 6 6 on lui retire 2 € 2\ € 2 € . Calcule l’espérance, la variance et l’écart type de cette expérience.
Calcule les probabilités associées aux issues de l’expérience :
Probabilité de gagner : 1 € 1\ € 1 €
P ( 1 € ) = P ( t i r e r 1 , 2 o u 3 ) = 36 = 12 P(1 €)=P(tirer 1,2 ou 3)=36=12 P ( 1€ ) = P ( t i rer 1 , 2 o u 3 ) = 36 = 12
Probabilité de gagner : 5 € 5\ € 5 €
P ( 5 € ) = P ( t i r e r 4 ) = 1 6 P(5 €)=P(tirer 4)=\frac16 P ( 5€ ) = P ( t i rer 4 ) = 6 1
Probabilité de perdre : 2 € 2\ € 2 €
P ( − 2 € ) = P ( t i r e r 5 o u 6 ) = 2 6 = 1 3 P(-2 €)=P(tirer 5 ou 6)=\frac26=\frac13 P ( − 2€ ) = P ( t i rer 5 o u 6 ) = 6 2 = 3 1
Espérance :
E ( X ) = 1 × 1 2 + 5 × 1 6 + ( − 2 ) × 1 3 = 2 3 ≈ 0 , 67 € E\left(X\right)=1\times\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{6}+\left(-2\right)\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx0,67 € E ( X ) = 1 × 2 1 + 5 × 6 1 + ( − 2 ) × 3 1 = 3 2 ≈ 0 , 67€
Variance :
V ( X ) = 1 2 × ( 1 − 2 3 ) 2 + 1 6 × ( 5 − 2 3 ) 2 + 1 3 × ( − 2 − 2 3 ) 2 = 50 9 ≈ 5 , 56 € V\left(X\right)=\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{2}{3}\right)^2+{\frac{1}{6}\times\left(5-\frac{2}{3}\right)}^2+{\frac{1}{3}\times\left(-2-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{50}{9}\approx5,56 € V ( X ) = 2 1 × ( 1 − 3 2 ) 2 + 6 1 × ( 5 − 3 2 ) 2 + 3 1 × ( − 2 − 3 2 ) 2 = 9 50 ≈ 5 , 56€
Écart type :
σ ( X ) = 50 9 ≈ 2 , 36 € \sigma\left(X\right)=\sqrt{\frac{50}{9}}\approx2,36 € σ ( X ) = 9 50 ≈ 2 , 36€
Propriétés Avec X X X et Y Y Y deux variables aléatoires indépendantes, l’espérance et la variance ont les propriétés suivantes :
E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E(Y) E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )
V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V(Y) V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y )
E ( a X ) = a E ( X ) E\left(aX\right)=aE(X) E ( a X ) = a E ( X )
V ( a X ) = a 2 V ( X ) V\left(aX\right)=a^2V(X) V ( a X ) = a 2 V ( X )
Note : Il découle de ces propriétés que l’espérance est linéaire.
Exemple On a deux urnes. La première contient boules rouges et boules bleues, la seconde contient boules vertes, boule orange et boules noires.
On tire une boule de la première urne. Si on tire une boule rouge, on nous retire , si on tire une boule bleue, on obtient .
Puis on tire une boule de la deuxième urne. Si on tire du vert, on obtient , si on tire la boule orange, on reçoit , si on tire une boule noire on nous enlève .
Calcule l’espérance et la variance de cette expérience.
Calcule les probabilités associées aux issues de la première expérience :
Probabilité de perdre : 1 € 1\ € 1 €
P ( − 1 € ) = P ( b o u l e r o u g e ) = 5 7 P(-1 €)=P(boule\ rouge)=\frac57 P ( − 1€ ) = P ( b o u l e ro ug e ) = 7 5
Probabilité de gagner 2 € 2\ € 2 € :
P ( 2 € ) = P ( b o u l e b l e u e ) = 2 7 P(2 €)=P(boule\ bleue)=\frac27 P ( 2€ ) = P ( b o u l e b l e u e ) = 7 2
Calcule les probabilités associées aux issues de la deuxième expérience :
Probabilité de gagner 1 € 1\ € 1 € :
P ( 1 € ) = P ( b o u l e v e r t e ) = 3 8 P(1 €)=P(boule\ verte)=\frac38 P ( 1€ ) = P ( b o u l e v er t e ) = 8 3
Probabilité de gagner 5 € 5\ € 5 € :
P ( 5 € ) = P ( b o u l e o r a n g e ) = 1 8 P(5 €)=P(boule\ orange)=\frac18 P ( 5€ ) = P ( b o u l e or an g e ) = 8 1
Probabilité de perdre 3 € 3\ € 3 € :
P ( − 3 € ) = P ( b o u l e n o i r e ) = 4 8 = 1 2 P(-3 €)=P(boule\ noire)=\frac48=\frac12 P ( − 3€ ) = P ( b o u l e n o i re ) = 8 4 = 2 1
Espérance :
E ( X + Y ) E\left(X+Y\right) E ( X + Y )
E ( X ) + E ( Y ) E\left(X\right)+E\left(Y\right) E ( X ) + E ( Y )
( − 1 + 9 14 ) 2 × 5 7 + ( 2 + 9 14 ) 2 × 2 7 ⏟ V ( X ) + ( 1 + 9 14 ) 2 × 3 8 + ( 5 + 9 14 ) 2 × 1 8 + ( − 3 + 9 14 ) 2 × 1 2 ⏟ V ( Y ) \underbrace{\left(-1+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{5}{7}+\left(2+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{2}{7}}_{V(X)}+\underbrace{\left(1+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{3}{8}+\left(5+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{1}{8}+\left(-3+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{1}{2}}_{V(Y)} V ( X ) ( − 1 + 14 9 ) 2 × 7 5 + ( 2 + 14 9 ) 2 × 7 2 + V ( Y ) ( 1 + 14 9 ) 2 × 8 3 + ( 5 + 14 9 ) 2 × 8 1 + ( − 3 + 14 9 ) 2 × 2 1
409 196 + 1523 196 \frac{409}{196}+\frac{1523}{196} 196 409 + 196 1523
69 7 ≈ 9 , 86 ‾ \frac{69}{7}\approx\underline{9,86} 7 69 ≈ 9 , 86
Le joueur a donc plus de chance de perdre s’il jouant au jeu.
Variance :
V ( X + Y ) V\left(X+Y\right) V ( X + Y )
= = =
V ( X ) + V ( Y ) V\left(X\right)+V\left(Y\right) V ( X ) + V ( Y )
= = =
( − 1 + 9 14 ) 2 × 5 7 + ( 2 + 9 14 ) 2 × 2 7 ⏟ V ( X ) + ( 1 + 9 14 ) 2 × 3 8 + ( 5 + 9 14 ) 2 × 1 8 + ( − 3 + 9 14 ) 2 × 1 2 ⏟ V ( Y ) \underbrace{\left(-1+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{5}{7}+\left(2+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{2}{7}}_{V(X)}+\underbrace{\left(1+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{3}{8}+\left(5+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{1}{8}+\left(-3+\frac{9}{14}\right)^2\times\frac{1}{2}}_{V(Y)} V ( X ) ( − 1 + 14 9 ) 2 × 7 5 + ( 2 + 14 9 ) 2 × 7 2 + V ( Y ) ( 1 + 14 9 ) 2 × 8 3 + ( 5 + 14 9 ) 2 × 8 1 + ( − 3 + 14 9 ) 2 × 2 1
= = =
409 196 + 1523 196 \frac{409}{196}+\frac{1523}{196} 196 409 + 196 1523
= = =
69 7 ≈ 9 , 86 ‾ \frac{69}{7}\approx\underline{9,86} 7 69 ≈ 9 , 86
