​​​Inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration

Contexte

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l’inégalité de concentration permettent d’étudier la dispersion d’une variable aléatoire autour de son espérance.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité que l’écart entre la valeur d’une variable aléatoire $$X$$​ et son espérance  soit supérieure à un certain nombre $$\delta>0$$​. Cette majoration dépend de la variance $$V(X)$$​. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev s’écrit comme suit :

$$P(\left|X-\mu\right|\geq\delta)\le\frac{V(X)}{\delta^2}$$​​

Note : L’espérance $$E(X)$$​ est ici notée $$\mu$$​.

Représentation

$$\left|X-\mu\right|$$​ décrit la distance entre les valeurs prises par la variable $$X$$​ et son espérance. La probabilité que ces valeurs se situent dans la partie hachurée est plus petite que $$\frac{V(X)}{\delta^2}$$​.

Inégalité de concentration

L’inégalité de concentration est une conséquence de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable aléatoire moyenne $$M_n=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}$$​ d’un échantillon de taille $$n$$​. Elle prend en compte que la variance de la moyenne vaut $$V\left(M_n\right)=\frac{V(X)}{n}$$​. L’inégalité de concentration s’écrit comme suit :

$$P(\left|M_n-\mu\right|\geq\delta)\le\frac{V}{{n\delta}^2}$$​​

Calculer la taille d’un échantillon

Tu peux utiliser les inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration pour calculer la taille d’un échantillon en fonction d’une précision et d’un risque.

MÉTHODE

Exemple 

En 2022 en France, $$80\%$$​ de la population est considérée comme active sur les réseaux sociaux. Un institut de sondage souhaite interroger des personnes au hasard à ce sujet. Quelle devra être la taille de l’échantillon pris en compte pour être sûr au moins à $$99\%$$​ qu’entre $$75\%$$​ et $$85\%$$​ des personnes interrogées soient actives sur les réseaux sociaux ?

Détermine l’inéquation à résoudre :

Selon l’énoncé, tu cherches une probabilité d’au moins $$99\%$$​ que la moyenne des personnes actives se situe entre $$75\%$$​ et $$85\%$$​:

$$P\left(0,75<M_n<0,85\right)\geq0,99$$​​

Réarrange pour faire apparaître l’espérance $$\mu=0,8$$​ et la précision $$\delta\$$​:

Conseil : Représente la situation avec un schéma.

Réarrange l’inégalité pour retrouver l’inégalité de concentration $$P(\left|M_n-\mu\right|\geq\delta)\le\frac{V(X)}{{n\delta}^2}\$$​:

$$P\left(\left|M_n-0,8\right|<0,05\right)\geq0,99\\\Rightarrow P\left(\left|M_n-0,8\right|\geq0,05\right)\le0,01$$​​

Remplace les valeurs trouvées pour le risque $$\frac{V(X)}{{n\delta}^2}$$​, la précision  et la variance $$V(X)\$$​:

$$risque=0,01=\frac{V(X)}{{n\delta}^2}=\frac{0,16}{n\times\left(0,05\right)^2}$$​​

Isole $$n$$​: 

$$n=\frac{0,16}{0,01\times\left(0,05\right)^2}=6400$$​​

Il faut donc un échantillon d’au moins  6400 personnes.