Inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration

Contexte

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l’inégalité de concentration permettent d’étudier la dispersion d’une variable aléatoire autour de son espérance.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité que l’écart entre la valeur d’une variable aléatoire $X$ et son espérance soit supérieure à un certain nombre $\delta>0$ . Cette majoration dépend de la variance $V(X)$ . L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev s’écrit comme suit :

$P(\left|X-\mu\right|\geq\delta)\le\frac{V(X)}{\delta^2}$

Note : L’espérance $E(X)$ est ici notée $\mu$ .

Représentation

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration

$\left|X-\mu\right|$ décrit la distance entre les valeurs prises par la variable $X$ et son espérance. La probabilité que ces valeurs se situent dans la partie hachurée est plus petite que $\frac{V(X)}{\delta^2}$ .

Inégalité de concentration

L’inégalité de concentration est une conséquence de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable aléatoire moyenne $M_n=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}$ d’un échantillon de taille $n$ . Elle prend en compte que la variance de la moyenne vaut $V\left(M_n\right)=\frac{V(X)}{n}$ . L’inégalité de concentration s’écrit comme suit :

$P(\left|M_n-\mu\right|\geq\delta)\le\frac{V}{{n\delta}^2}$

Calculer la taille d’un échantillon

Tu peux utiliser les inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration pour calculer la taille d’un échantillon en fonction d’une précision et d’un risque.

MÉTHODE

1.	Définis la variable aléatoire, son espérance et sa variance.
2.	Pose l’inégalité à résoudre selon les données de l’exercice.
3.	Réarrange l’inégalité pour faire apparaître l’espérance $\mu$ , la précision $\delta$ et le risque $\frac{V}{{n\delta}^2}$ de l’inégalité de concentration.
4.	Isole la taille de l’échantillon $n$ .

Exemple

En 2022 en France, $80\%$ de la population est considérée comme active sur les réseaux sociaux. Un institut de sondage souhaite interroger des personnes au hasard à ce sujet. Quelle devra être la taille de l’échantillon pris en compte pour être sûr au moins à $99\%$ qu’entre $75\%$  et $85\%$  des personnes interrogées soient actives sur les réseaux sociaux ?

Définis la variable aléatoire :

$X$ suit une loi binomiale

$P\left(X=active\right)=p=80\%=0,8\\P\left(X=inactive\right)=1-p=0,2$

Détermine l’espérance :

\mu=p=0,8

Détermine la variance :

V\left(X\right)=p\left(1-p\right)=0,8\times0,2=0,16

Détermine l’inéquation à résoudre :

Selon l’énoncé, tu cherches une probabilité d’au moins $99\%$ que la moyenne des personnes actives se situe entre $75\%$ et $85\%$ :

$P\left(0,75<M_n<0,85\right)\geq0,99$

Réarrange pour faire apparaître l’espérance $\mu=0,8$ et la précision $\delta\$ :

Conseil : Représente la situation avec un schéma.

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration

Réarrange l’inégalité pour retrouver l’inégalité de concentration $P(\left|M_n-\mu\right|\geq\delta)\le\frac{V(X)}{{n\delta}^2}\$ :

$P\left(\left|M_n-0,8\right|<0,05\right)\geq0,99\\\Rightarrow P\left(\left|M_n-0,8\right|\geq0,05\right)\le0,01$ 

Remplace les valeurs trouvées pour le risque $\frac{V(X)}{{n\delta}^2}$ , la précision et la variance $V(X)\$ :

$risque=0,01=\frac{V(X)}{{n\delta}^2}=\frac{0,16}{n\times\left(0,05\right)^2}$ 

Isole $n$ :

$n=\frac{0,16}{0,01\times\left(0,05\right)^2}=6400$ 

Il faut donc un échantillon d’au moins 6400 personnes.