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Produit scalaire : formule angulaire et règles de calcul

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Enseignant: Clémence

Résumés

Produit scalaire : formule angulaire et règles de calcul

Définition

Le produit scalaire attribue à une paire de vecteurs un nombre réel spécifique. Il se note par un point. Ce nombre est égal à la longueur du vecteur a\overrightarrow a multipliée par la longueur du vecteur b\overrightarrow b multipliée par le cosinus de l’angle α\alpha entre les deux vecteurs : 

ab=a×b×cos(α)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \lVert\overrightarrow a\rVert\times \lVert\overrightarrow b \rVert \times cos(\alpha)​​

Mathématiques; Vecteurs; 1re générale; Produit scalaire : formule angulaire et règles de calcul



Calcul

Le produit scalaire peut aussi se calculer en multipliant d’abord les vecteurs composante par composante, puis en additionnant les nombres ainsi obtenus :

ab=(axayaz)(bxbybz)=axbx+ayby+azbz\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z​​


Formule angulaire

Grâce au produit scalaire, tu peux calculer l’angle entre deux vecteurs.

cos(α)=aba×bcos(\alpha)=\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{\lVert\overrightarrow a \rVert \times \lVert\overrightarrow b\rVert}​​

α=cos1=(aba×b)\alpha=cos^{-1}=(\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{\lVert\overrightarrow a \rVert \times \lVert\overrightarrow b\rVert})​​



Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont perpendiculaires ou orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro :

ab=0\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0​​

Cela s’explique par le fait que cos90°=0.cos90°=0.



Règles de calcul 

Bilinéarité

(ra)b=r(ab)=a(rb)(r\overrightarrow a)\cdot\overrightarrow b = r(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b) = \overrightarrow a \cdot (r\overrightarrow b)​​

L’ordre de la multiplication n’a pas d’importance.

Symétrie

ab=ba\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a​​

L’ordre des vecteurs multipliés n’a pas d’importance.

Distributivité

(a+b)c=ac+bc(\overrightarrow a + \overrightarrow b)\cdot\overrightarrow c = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c​​

Le produit scalaire se distribue comme écrit.



Norme

On peut maintenant écrire la norme d’un vecteur comme racine du produit scalaire avec lui-même :

a=aa\lVert\overrightarrow a\rVert=\sqrt{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a}​​





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Questions fréquemment posées sur les crédits

Que se passe-t-il si le produit scalaire est égal à 0 ?

Comment calculer le produit scalaire ?

C'est quoi le produit scalaire ?

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