Une fonction f a comme limite a en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images f(x) s’approchent de la valeur a.
La droite y=a est alors appelée asymptote horizontale de f.
On note cette limite : a=limx→+∞f(x).
limite infinie en un point
Une fonction f a pour limite +∞ en un point a lorsque plus les antécédents x s’approchent de la valeur a, plus les images f(x) augmentent.
La droite x=a est alors appelée asymptote verticale de f.
On note : limx→af(x)=+∞.
Note : On parle de limite à gauche en un point, qu’on note limx→a−f(x), lorsqu’on considère les valeurs proches et inférieures à a. On parle de limite à droite, notée limx→a+f(x), pour les valeurs supérieures à a.
Limite infinie en l’infini
Une fonction f a pour limite +∞ en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images f(x) augmentent.
On note : limx→+∞f(x)=+∞
Note : On peut expliquer les limites avec −∞ de façon analogue.
Limites et asymptotes de fonctions de base
Fonction
Limites à l’infini
Limites en x=0
−∞
+∞
0−
0+
fonction puissance
xn
n est pair
+∞
+∞
0+
0+
n est impair
−∞
+∞
0−
0+
fonction racine carré
√x
n.d.
+∞
n.d.
0+
fonction inverse
xn1
n est pair
0+
0+
+∞
+∞
n est impair
0−
0+
−∞
+∞
fonction exponentielle
ex
0+
+∞
1
1
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
ln(x)
n.d.
+∞
n.d.
−∞
Note :« n.d. » signifie que la fonction n'est pas définie pour ces valeurs.
Opérations avec des limites
Le produit et le quotient de deux fonctions fet gprend des limites selon le comportement des deux fonctions.
Pour la multiplication, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant:
limite de f: l1
l>0
l<0
l>0
l<0
+∞
+∞
−∞
0
limite deg : l2
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
∞
limite de f×g: l1×l2
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
ind.
Pour la division, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :
limite de f: l1
l
l>0
l<0
l>0
l<0
+∞
+∞
−∞
−∞
±∞
0±
limite deg : l2=0
±∞
0+
0+
0−
0−
l>0
l<0
l>0
l<0
±∞
0±
limite degf: l2l1
0
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞+∞
+∞
ind.
ind.
Note : « ind.» signifie indéfinie. La limite est indéfinie lorsqu’on ne peut pas la prévoir. Elle peut exister ou ne pas exister selon les cas.
Limites et asymptotes de fonctions générales
La plupart des fonctions sont composées de différentes fonctions de base. Les valeurs limites respectives dépendent de leur interaction.
Méthode
1.
Sur la base du domaine de définition, considère quelles limites doivent être vérifiées :
·La plus petite valeur du domaine de définition (souvent −∞).
·La plus grande valeur du domaine de définition (souvent +∞).
·Les éventuelles lacunes dans le domaine de définition. Dans ce cas, on doit vérifier depuis la gauche (x−) et la droite (x+).
2.
Détermine chaque limite :
·Pour les limites en ±∞des fonctions rationnelles, mets en évidence la puissance la plus élevée de x(même si tu es forcé de former des fractions).
·Pour chaque partie du terme, considère la valeur vers laquelle elle tend.
·Réunis les termes.
Exemple
Trouver les limites et asymptotes def(x)=x3−14x+3
Quelle est la définition d'une limite infinie en l’infini?
Une fonction f a pour limite +∞ en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images fx augmentent.
Quelle est la définition de la limite infinie en un point?
Une fonction f a pour limite +∞ en un point a lorsque plus les antécédents x s’approchent de la valeur a, plus les images fx augmentent.
La droite x=a est alors appelée asymptote verticale de f.
Quelle est la définition de la fonction finie à l'infini?
Une fonction f a comme limite a en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images f(x) s’approchent de la valeur a.
La droite y=a est alors appelée asymptote horizontale de f.
Beta
Je suis Vulpy, ton compagnon de révision IA ! Apprenons ensemble.