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Fonctions

Fonctions : limites et continuité

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Combinatoires : coefficient binomial

Combinatoires : relation et triangle de Pascal

Variables aléatoires

Variables aléatoires : discrètes et continues

Lois de probabilités : définitions et tableaux

Espérance, variance et écart type

Épreuve et schéma de Bernoulli

Loi binomiale : formules et paramètres

Loi géométrique : fonctions et paramètres

Probabilités conditionnelles

Formule de Bayes

Probabilités

Théorie des ensembles et diagramme de Venn

Échantillonnage : fluctuation et intervalle

Statistiques

Nuage de points et droites

Suites

Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Limites de suites : définition et méthode

Calcul intégral

Définition de l'intégrale : paramètres et surfaces

Primitives : théorème fondamental de l'analyse

Règles d'intégration : relation de Chasles

Propriétés et valeur moyenne de l'intégrale

Encadrement de l'intégrale

Calcul de l'aire entre des intégrales

Primitive et équation différentielle

Équations différentielles : primitives et conditions

Primitives : opérations et compositions

Équations différentielles homogènes

Équations différentielles non homogènes

Dérivation

Continuité et dérivabilité d'une fonction

Déterminer la dérivée seconde

Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques

Monotonie : types et tableaux de variations

Extremums : définition et détermination

Points d'inflexion et convexité

Fonctions logarithmes

Fonction logarithme : ensemble de définitions et propriétés

Fonctions

Fonctions : limites et continuité

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Résumé des différents types de fonctions

Vidéo Explicative

Enseignant: Lomàn

Résumés

Fonctions : limites et continuité

Limites

Définitions

Limite finie en l’infini

Une fonction $f$ a comme limite $a$ en $+∞$ lorsque plus les antécédents $x$ augmentent, plus les images $f(x)$ s’approchent de la valeur $a$ .

La droite $y=a$ est alors appelée asymptote horizontale de $f$ .

On note cette limite : $a=lim_{x \to \ +∞} f(x)$ .

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : limites et continuité

limite infinie en un point

Une fonction $f$ a pour limite $+∞$ en un point a lorsque plus les antécédents $x$ s’approchent de la valeur $a$ , plus les images $f(x)$ augmentent.

La droite $x=a$ est alors appelée asymptote verticale de $f$ .

On note : $lim_{x \to \ a } f(x) =+∞$ .

Note : On parle de limite à gauche en un point, qu’on note $lim_{x \to \ a^- } f(x)$ , lorsqu’on considère les valeurs proches et inférieures à $a$ . On parle de limite à droite, notée $lim_{x \to \ a^+ } f(x)$ , pour les valeurs supérieures à $a$ .

Limite infinie en l’infini

Une fonction $f$ a pour limite $+∞$ en $+∞$ lorsque plus les antécédents $x$ augmentent, plus les images $f(x)$ augmentent.

On note : $lim_{x \to \ +∞ } f(x) =+∞$

Note : On peut expliquer les limites avec $-∞$ de façon analogue.

Limites et asymptotes de fonctions de base

Fonction			Limites à l’infini		Limites en $x=0$
Fonction			$-∞$	$+∞$	$0^-$	$0^+$
fonction puissance	$x^n$	$n$ est pair	$+∞$	$+∞$	$0^+$	$0^+$
fonction puissance	$x^n$	$n$ est impair	$-∞$	$+∞$	$0^-$	$0^+$
fonction racine carré	$√x$		$n.d.$	$+∞$	$n.d.$	$0^+$
fonction inverse	$\frac{1}{x^n}$	$n$ est pair	$0^+$	$0^+$	$+∞$	$+∞$
fonction inverse	$\frac{1}{x^n}$	$n$ est impair	$0^-$	$0^+$	$-∞$	$+∞$
fonction exponentielle	$e^x$		$0^+$	$+∞$	$1$	$1$
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN	$ln⁡(x)$		$n.d.$	$+∞$	$n.d.$	$-∞$

Note : « $n.d.$ » signifie que la fonction n'est pas définie pour ces valeurs.

Opérations avec des limites

Le produit et le quotient de deux fonctions $f$ et $g$ prend des limites selon le comportement des deux fonctions.

Pour la multiplication, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :

limite de $f$ : $l_1$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$0$
limite de $g$ : $l_2$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$∞$
limite de $f×g$ : $l_1×l_2$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$+∞$	$ind.$

Pour la division, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :

limite de $f$ : $l_1$	$l$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$±∞$	$0^±$
limite de $g$ : $l_2≠0$	$±∞$	$0^+$	$0^+$	$0^-$	$0^-$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$±∞$	$0^±$
limite de $\frac{f}{g}$ : $\frac{l_1}{l_2}$	$0$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$ $+∞$	$+∞$	$ind.$	$ind.$

Note : « $ind.$ » signifie indéfinie. La limite est indéfinie lorsqu’on ne peut pas la prévoir. Elle peut exister ou ne pas exister selon les cas.

Limites et asymptotes de fonctions générales

La plupart des fonctions sont composées de différentes fonctions de base. Les valeurs limites respectives dépendent de leur interaction.

Méthode

Sur la base du domaine de définition, considère quelles limites doivent être vérifiées :

· La plus petite valeur du domaine de définition (souvent $-∞$ ).

· La plus grande valeur du domaine de définition (souvent $+∞$ ).

· Les éventuelles lacunes dans le domaine de définition. Dans ce cas, on doit vérifier depuis la gauche ( $x^-$ ) et la droite ( $x^+$ ).

Détermine chaque limite :

· Pour les limites en $±∞$ des fonctions rationnelles, mets en évidence la puissance la plus élevée de $x$ (même si tu es forcé de former des fractions).

· Pour chaque partie du terme, considère la valeur vers laquelle elle tend.

· Réunis les termes.

Exemple

Trouver les limites et asymptotes de $f(x)=\frac{4x+3}{x^3-1}$

Trouve le domaine de définition :

Df = \mathbb{R}

1

}

Calcule la limite en $-∞$ :

\lim_{x \to -∞} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) =\lim_{x \to -∞} \Biggl( \frac {\left( 4+\frac{3}{x}\right)}{\left(1-\frac{1}{x^3}\right)}\Biggl) = \lim_{x \to -∞} \Biggl(\frac{1}{x^2}\times \frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^3}}\Biggl) = 0 \times \frac{4+0}{1-0} =0

Calcule la limite en $+∞$ :

\lim_{x \to +∞} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \lim_{x \to +∞} \Biggl(\frac{1}{x^2}\times \frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^3}}\Biggl) = 0 \times \frac{4+0}{1-0} =0

Calcule la limite en $1$ :
Limite à gauche :

\lim_{x \to 1^-} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \frac{4+3}{1^--1} = \frac{7}{0^-} =-∞

Limite à droite :

\lim_{x \to 1^+} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \frac{4+3}{1^+-1} = \frac{7}{0^+} =+∞

On a donc une asymptote verticale en $x=1$ et une asymptote horizontale en $y=0$ .

Graphique de la fonction :

Théorèmes

Théorèmes de comparaison

Deux fonctions $f$ et $g$ sont définies sur un intervalle $I$ .

Si $f(x)≥g(x)$ pour tout $x$ dans $I$ et si $\lim_{x \to +∞}g(x)=+∞$ , alors $\lim_{x \to +∞}f(x)=+∞$ .

Si $f(x)≤g(x)$ pour tout x dans I et si $\lim_{x \to +∞}g(x)=-∞$ , alors $\lim_{x \to +∞}f(x)=-∞$ .

Théorème d’encadrement

Trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ sont définies sur un intervalle $I$ de sorte que $f(x)≤g(x)≤h(x)$ pour tout $x∈I$ .

Si $\lim_{x \to +∞}f(x)= \lim_{x \to +∞}h(x) = l$ , alors $\lim_{x \to +∞}g(x) = l$ aussi.

Note : Le théorème d’encadrement est aussi appelé « Théorème des gendarmes ».

Exemple

Calcule la limite en $+∞$ de $f(x)=\frac{sin⁡(x)}{x}$ :
On sait que les images du sinus sont comprises entre $-1$ * et* $+1$ :
$-1≤sin⁡(x)≤1$
Divise par $x$ :
$-\frac{1}{x}≤f(x)≤\frac{1}{x}$
Calcule les limites des fonctions qui encadrent $f(x)$ :
$\lim_{x\to\ +∞} -\frac{1}{x} =0$	$\lim_{x\to\ +∞} \frac{1}{x} =0$
Grâce au théorème des gendarmes, tu peux déduire : $\lim_{x\to\ +∞} f(x) =0$

Continuité

Intuitivement, on peut se représenter la continuité comme le dessin d’une courbe « sans lever le crayon », donc sans « sauts » ni « trous ».

Plus formellement, une fonction est continue en un point $x_0$ si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction.

Le calcul de limites est donc utilisé pour déterminer la continuité d’une fonction, comme expliqué dans une prochaine leçon.

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Fonctions : limites et continuité

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle est la définition d'une limite infinie en l’infini?

Une fonction f a pour limite +∞ en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images fx augmentent.

Quelle est la définition de la limite infinie en un point?

Une fonction f a pour limite +∞ en un point a lorsque plus les antécédents x s’approchent de la valeur a, plus les images fx augmentent. La droite x=a est alors appelée asymptote verticale de f.

Quelle est la définition de la fonction finie à l'infini?

Une fonction f a comme limite a en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images f(x) s’approchent de la valeur a. La droite y=a est alors appelée asymptote horizontale de f.

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Lois de probabilités : définitions et tableaux

Espérance, variance et écart type

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Probabilités

Théorie des ensembles et diagramme de Venn

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Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Limites de suites : définition et méthode

Calcul intégral

Définition de l'intégrale : paramètres et surfaces

Primitives : théorème fondamental de l'analyse

Règles d'intégration : relation de Chasles

Propriétés et valeur moyenne de l'intégrale

Encadrement de l'intégrale

Calcul de l'aire entre des intégrales

Primitive et équation différentielle

Équations différentielles : primitives et conditions

Primitives : opérations et compositions

Équations différentielles homogènes

Équations différentielles non homogènes

Dérivation

Continuité et dérivabilité d'une fonction

Déterminer la dérivée seconde

Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques

Monotonie : types et tableaux de variations

Extremums : définition et détermination

Points d'inflexion et convexité

Fonctions logarithmes

Fonction logarithme : ensemble de définitions et propriétés

Fonctions

Fonctions : limites et continuité

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Résumé des différents types de fonctions

Vidéo Explicative

Enseignant: Lomàn

Vidéo Explicative 1

Vidéo Explicative 2

Vidéo Explicative 3

Résumés

Fonctions : limites et continuité

Limites

Définitions

Limite finie en l’infini

Une fonction $f$ a comme limite $a$ en $+∞$ lorsque plus les antécédents $x$ augmentent, plus les images $f(x)$ s’approchent de la valeur $a$ .

La droite $y=a$ est alors appelée asymptote horizontale de $f$ .

On note cette limite : $a=lim_{x \to \ +∞} f(x)$ .

limite infinie en un point

Une fonction $f$ a pour limite $+∞$ en un point a lorsque plus les antécédents $x$ s’approchent de la valeur $a$ , plus les images $f(x)$ augmentent.

La droite $x=a$ est alors appelée asymptote verticale de $f$ .

On note : $lim_{x \to \ a } f(x) =+∞$ .

Limite infinie en l’infini

Une fonction $f$ a pour limite $+∞$ en $+∞$ lorsque plus les antécédents $x$ augmentent, plus les images $f(x)$ augmentent.

On note : $lim_{x \to \ +∞ } f(x) =+∞$

Note : On peut expliquer les limites avec $-∞$ de façon analogue.

Limites et asymptotes de fonctions de base

Fonction			Limites à l’infini		Limites en $x=0$
Fonction			$-∞$	$+∞$	$0^-$	$0^+$
fonction puissance	$x^n$	$n$ est pair	$+∞$	$+∞$	$0^+$	$0^+$
fonction puissance	$x^n$	$n$ est impair	$-∞$	$+∞$	$0^-$	$0^+$
fonction racine carré	$√x$		$n.d.$	$+∞$	$n.d.$	$0^+$
fonction inverse	$\frac{1}{x^n}$	$n$ est pair	$0^+$	$0^+$	$+∞$	$+∞$
fonction inverse	$\frac{1}{x^n}$	$n$ est impair	$0^-$	$0^+$	$-∞$	$+∞$
fonction exponentielle	$e^x$		$0^+$	$+∞$	$1$	$1$
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN	$ln⁡(x)$		$n.d.$	$+∞$	$n.d.$	$-∞$

Note : « $n.d.$ » signifie que la fonction n'est pas définie pour ces valeurs.

Opérations avec des limites

Le produit et le quotient de deux fonctions $f$ et $g$ prend des limites selon le comportement des deux fonctions.

Pour la multiplication, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :

limite de $f$ : $l_1$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$0$
limite de $g$ : $l_2$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$∞$
limite de $f×g$ : $l_1×l_2$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$+∞$	$ind.$

Pour la division, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :

limite de $f$ : $l_1$	$l$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$±∞$	$0^±$
limite de $g$ : $l_2≠0$	$±∞$	$0^+$	$0^+$	$0^-$	$0^-$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$±∞$	$0^±$
limite de $\frac{f}{g}$ : $\frac{l_1}{l_2}$	$0$	$+∞$	$-∞$	$-∞$	$+∞$	$+∞$	$-∞$	$-∞$ $+∞$	$+∞$	$ind.$	$ind.$

Note : « $ind.$ » signifie indéfinie. La limite est indéfinie lorsqu’on ne peut pas la prévoir. Elle peut exister ou ne pas exister selon les cas.

Limites et asymptotes de fonctions générales

La plupart des fonctions sont composées de différentes fonctions de base. Les valeurs limites respectives dépendent de leur interaction.

Méthode

Sur la base du domaine de définition, considère quelles limites doivent être vérifiées :

· La plus petite valeur du domaine de définition (souvent $-∞$ ).

· La plus grande valeur du domaine de définition (souvent $+∞$ ).

· Les éventuelles lacunes dans le domaine de définition. Dans ce cas, on doit vérifier depuis la gauche ( $x^-$ ) et la droite ( $x^+$ ).

Détermine chaque limite :

· Pour les limites en $±∞$ des fonctions rationnelles, mets en évidence la puissance la plus élevée de $x$ (même si tu es forcé de former des fractions).

· Pour chaque partie du terme, considère la valeur vers laquelle elle tend.

· Réunis les termes.

Exemple

Trouver les limites et asymptotes de $f(x)=\frac{4x+3}{x^3-1}$

Trouve le domaine de définition :

Df = \mathbb{R}

1

}

Calcule la limite en $-∞$ :

\lim_{x \to -∞} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) =\lim_{x \to -∞} \Biggl( \frac {\left( 4+\frac{3}{x}\right)}{\left(1-\frac{1}{x^3}\right)}\Biggl) = \lim_{x \to -∞} \Biggl(\frac{1}{x^2}\times \frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^3}}\Biggl) = 0 \times \frac{4+0}{1-0} =0

Calcule la limite en $+∞$ :

\lim_{x \to +∞} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \lim_{x \to +∞} \Biggl(\frac{1}{x^2}\times \frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^3}}\Biggl) = 0 \times \frac{4+0}{1-0} =0

Calcule la limite en $1$ :
Limite à gauche :

\lim_{x \to 1^-} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \frac{4+3}{1^--1} = \frac{7}{0^-} =-∞

Limite à droite :

\lim_{x \to 1^+} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \frac{4+3}{1^+-1} = \frac{7}{0^+} =+∞

On a donc une asymptote verticale en $x=1$ et une asymptote horizontale en $y=0$ .

Graphique de la fonction :

Théorèmes

Théorèmes de comparaison

Deux fonctions $f$ et $g$ sont définies sur un intervalle $I$ .

Si $f(x)≥g(x)$ pour tout $x$ dans $I$ et si $\lim_{x \to +∞}g(x)=+∞$ , alors $\lim_{x \to +∞}f(x)=+∞$ .

Si $f(x)≤g(x)$ pour tout x dans I et si $\lim_{x \to +∞}g(x)=-∞$ , alors $\lim_{x \to +∞}f(x)=-∞$ .

Théorème d’encadrement

Trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ sont définies sur un intervalle $I$ de sorte que $f(x)≤g(x)≤h(x)$ pour tout $x∈I$ .

Si $\lim_{x \to +∞}f(x)= \lim_{x \to +∞}h(x) = l$ , alors $\lim_{x \to +∞}g(x) = l$ aussi.

Note : Le théorème d’encadrement est aussi appelé « Théorème des gendarmes ».

Exemple

Calcule la limite en $+∞$ de $f(x)=\frac{sin⁡(x)}{x}$ :
On sait que les images du sinus sont comprises entre $-1$ * et* $+1$ :
$-1≤sin⁡(x)≤1$
Divise par $x$ :
$-\frac{1}{x}≤f(x)≤\frac{1}{x}$
Calcule les limites des fonctions qui encadrent $f(x)$ :
$\lim_{x\to\ +∞} -\frac{1}{x} =0$	$\lim_{x\to\ +∞} \frac{1}{x} =0$
Grâce au théorème des gendarmes, tu peux déduire : $\lim_{x\to\ +∞} f(x) =0$

Continuité

Intuitivement, on peut se représenter la continuité comme le dessin d’une courbe « sans lever le crayon », donc sans « sauts » ni « trous ».

Plus formellement, une fonction est continue en un point $x_0$ si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction.

Le calcul de limites est donc utilisé pour déterminer la continuité d’une fonction, comme expliqué dans une prochaine leçon.

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Fonctions : limites et continuité

Test final

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle est la définition d'une limite infinie en l’infini?

Une fonction f a pour limite +∞ en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images fx augmentent.

Quelle est la définition de la limite infinie en un point?

Quelle est la définition de la fonction finie à l'infini?

Une fonction f a comme limite a en +∞ lorsque plus les antécédents x augmentent, plus les images f(x) s’approchent de la valeur a. La droite y=a est alors appelée asymptote horizontale de f.

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Limite infinie en l’infini

Limites et asymptotes de fonctions de base

fonction puissance

fonction racine carré

fonction inverse

fonction exponentielle

​FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Opérations avec des limites

Limites et asymptotes de fonctions générales

Méthode

Exemple

Théorèmes

Théorèmes de comparaison

Théorème d’encadrement

Exemple

Continuité

Apprenez avec les Bases

Unité 1

Fonctions : limites et continuité

Test final

Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle est la définition d'une limite infinie en l’infini?

Quelle est la définition de la limite infinie en un point?

Quelle est la définition de la fonction finie à l'infini?

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