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Fonctions : limites et continuité

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Enseignant: Lomàn

Résumés

Fonctions : limites et continuité

Limites 

Définitions

Limite finie en l’infini 

Une fonction ff​ a comme limite aa​ en ++∞​ lorsque plus les antécédents xx​ augmentent, plus les images f(x)f(x)​ s’approchent de la valeur aa​.


La droite y=ay=a​ est alors appelée asymptote horizontale de ff​.


On note cette limite : a=limx +f(x)a=lim_{x \to \ +∞} f(x)​.

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : limites et continuité

limite infinie en un point

Une fonction ff​ a pour limite ++∞ en un point a lorsque plus les antécédents xx​ s’approchent de la valeur aa​, plus les images f(x)f(x)​ augmentent.


La droite x=ax=a​ est alors appelée asymptote verticale de ff​.


On note : limx af(x)=+lim_{x \to \ a } f(x) =+∞​.


Note : On parle de limite à gauche en un point, qu’on note limx af(x)lim_{x \to \ a^- } f(x)​, lorsqu’on considère les valeurs proches et inférieures à aa​. On parle de limite à droite, notée limx a+f(x)lim_{x \to \ a^+ } f(x)​, pour les valeurs supérieures à aa​.

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : limites et continuité

Limite infinie en l’infini

Une fonction ff​ a pour limite ++∞​ en ++∞​ lorsque plus les antécédents xx​ augmentent, plus les images f(x)f(x)​ augmentent.


On note : limx +f(x)=+lim_{x \to \ +∞ } f(x) =+∞​​

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : limites et continuité

 


Note : On peut expliquer les limites avec -∞ de façon analogue.


Limites et asymptotes de fonctions de base

Fonction

Limites à l’infini

Limites
en x=0x=0​​

-∞​​
++∞​​
00^-​​
0+0^+​​

fonction puissance

xnx^n​​

nn​ est pair

++∞​​
++∞​​
0+0^+​​
0+0^+​​

nn​ est impair

-∞​​
++∞​​
00^-​​
0+0^+​​

fonction racine carré

x√x​​
n.d.n.d.​​
++∞​​
n.d.n.d.​​
0+0^+​​

fonction inverse

1xn\frac{1}{x^n}​​
nn est pair
0+0^+​​
0+0^+​​
++∞​​
++∞​​
nn est impair
00^-​​
0+0^+​​
-∞​​
++∞​​

fonction exponentielle

exe^x​​
0+0^+​​
++∞​​
11​​
11​​

​FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

ln(x)ln⁡(x)​​
n.d.n.d.​​
++∞​​
n.d.n.d.​​
-∞​​

Note : « n.d.n.d. » signifie que la fonction n'est pas définie pour ces valeurs.



Opérations avec des limites

Le produit et le quotient de deux fonctions ff  et gg  prend des limites selon le comportement des deux fonctions.


Pour la multiplication, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :

limite de ff :               l1l_1

l>0l>0​​
l<0l<0​​
l>0l>0​​
l<0l<0​​
++∞​​
++∞​​
-∞​​
00​​

limite de  gg​  :               l2l_2

++∞​​
++∞​​
-∞​​
-∞​​
++∞​​
-∞
-∞
​​

limite de f×gf×g :       l1×l2l_1×l_2

++∞​​
-∞
-∞
++∞​​
++∞​​
-∞
++∞​​
ind.ind.​​


Pour la division, on peut déterminer les limites grâce au tableau suivant :

limite de ff :  l1l_1

ll​​
l>0l>0​​
l<0l<0​​
l>0l>0​​
l<0l<0​​
++∞​​
++∞​​
-∞​​
-∞​​
±±∞​​
0±0^±​​

limite de gg​ l20l_2≠0

±±∞​​
0+0^+​​
0+0^+​​
00^-​​
00^-​​
l>0l>0​​
l<0l<0
l>0l>0
l<0l<0​​
±±∞​​
0±0^±​​

limite de fg\frac{f}{g} l1l2\frac{l_1}{l_2}

00​​
++∞​​
-∞
-∞
++∞​​
++∞​​
-∞
-∞++∞​​
++∞​​
ind.ind.​​
ind.ind.​​


Note : « ind.ind. ​» signifie indéfinie. La limite est indéfinie lorsqu’on ne peut pas la prévoir. Elle peut exister ou ne pas exister selon les cas.


Limites et asymptotes de fonctions générales

La plupart des fonctions sont composées de différentes fonctions de base. Les valeurs limites respectives dépendent de leur interaction.


Méthode

1.

Sur la base du domaine de définition, considère quelles limites doivent être vérifiées :

·      La plus petite valeur du domaine de définition (souvent -∞ ).

·      La plus grande valeur du domaine de définition (souvent ++∞ ).

·      Les éventuelles lacunes dans le domaine de définition. Dans ce cas, on doit vérifier depuis la gauche (xx^-) et la droite (x+x^+).

2.

Détermine chaque limite :

·      Pour les limites en ±±∞  des fonctions rationnelles, mets en évidence la puissance la plus élevée de xx  (même si tu es forcé de former des fractions).

·         Pour chaque partie du terme, considère la valeur vers laquelle elle tend.

·         Réunis les termes.


Exemple 

Trouver les limites et asymptotes de f(x)=4x+3x31f(x)=\frac{4x+3}{x^3-1}​​

Trouve le domaine de définition :

Df=RDf = \mathbb{R}\{11​}​
Calcule la limite en -∞ :
limx(4x+3x31)=limx((4+3x)(11x3))=limx(1x2×4+3x11x3)=0×4+010=0\lim_{x \to -∞} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) =\lim_{x \to -∞} \Biggl( \frac {\left( 4+\frac{3}{x}\right)}{\left(1-\frac{1}{x^3}\right)}\Biggl) = \lim_{x \to -∞} \Biggl(\frac{1}{x^2}\times \frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^3}}\Biggl) = 0 \times \frac{4+0}{1-0} =0​​

Calcule la limite en ++∞​ :

limx+(4x+3x31)=limx+(1x2×4+3x11x3)=0×4+010=0\lim_{x \to +∞} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \lim_{x \to +∞} \Biggl(\frac{1}{x^2}\times \frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^3}}\Biggl) = 0 \times \frac{4+0}{1-0} =0​​

Calcule la limite en 11​ :
Limite à gauche :

limx1(4x+3x31)=4+311=70=\lim_{x \to 1^-} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \frac{4+3}{1^--1} = \frac{7}{0^-} =-∞​​
Limite à droite :
limx1+(4x+3x31)=4+31+1=70+=+\lim_{x \to 1^+} \left( \frac{4x+3}{x^3-1} \right) = \frac{4+3}{1^+-1} = \frac{7}{0^+} =+∞​​


On a donc une asymptote verticale en x=1x=1​ et une asymptote horizontale en y=0y=0​.

Graphique de la fonction :

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : limites et continuité


Théorèmes

Théorèmes de comparaison

Deux fonctions ff​ et gg​ sont définies sur un intervalle I I​.

Si f(x)g(x)f(x)≥g(x)​ pour tout xx​ dans II​ et si limx+g(x)=+\lim_{x \to +∞}g(x)=+∞​, alors limx+f(x)=+\lim_{x \to +∞}f(x)=+∞​.

Si f(x)g(x)f(x)≤g(x)​ pour tout x dans I et si limx+g(x)=\lim_{x \to +∞}g(x)=-∞​, alors limx+f(x)=\lim_{x \to +∞}f(x)=-∞​.


Théorème d’encadrement

Trois fonctions ff​, gg​ et hh​ sont définies sur un intervalle II​ de sorte que f(x)g(x)h(x)f(x)≤g(x)≤h(x)​ pour tout xIx∈I​.

Si limx+f(x)=limx+h(x)=l\lim_{x \to +∞}f(x)= \lim_{x \to +∞}h(x) = l​ , alors limx+g(x)=l\lim_{x \to +∞}g(x) = l​ aussi.


Note : Le théorème d’encadrement est aussi appelé « Théorème des gendarmes ».

Exemple 

Calcule la limite en ++∞​ de f(x)=sin(x)xf(x)=\frac{sin⁡(x)}{x} :

On sait que les images du sinus sont comprises entre 1-1​ et +1+1 :

​​1sin(x)1-1≤sin⁡(x)≤1

Divise par xx​ :

1xf(x)1x-\frac{1}{x}≤f(x)≤\frac{1}{x}​​

Calcule les limites des fonctions qui encadrent f(x)f(x)​ :

limx +1x=0\lim_{x\to\ +∞} -\frac{1}{x} =0​​
limx +1x=0\lim_{x\to\ +∞} \frac{1}{x} =0​​

Grâce au théorème des gendarmes, tu peux déduire : limx +f(x)=0\lim_{x\to\ +∞} f(x) =0


Continuité

Intuitivement, on peut se représenter la continuité comme le dessin d’une courbe « sans lever le crayon », donc sans « sauts » ni « trous ».

Plus formellement, une fonction est continue en un point x0x_0​ si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction.


Le calcul de limites est donc utilisé pour déterminer la continuité d’une fonction, comme expliqué dans une prochaine leçon.


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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle est la définition d'une limite infinie en l’infini?

Quelle est la définition de la limite infinie en un point?

Quelle est la définition de la fonction finie à l'infini?

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