Définition de l'intégrale : paramètres et surfaces

Intuition 

Question 

Comment peut-on calculer la surface grise sous le graphe ? 

Idée fondamentale  L'aire sous le graphe peut être estimée par plusieurs rectangles de même largeur.  Plus on définit de rectangles, plus les rectangles deviennent étroits, et meilleure est l’approximation de l’aire sous le graphe

En calculs 

Paramètres : 

• $$n :$$​ nombre de rectangles 
• $$\Delta x :$$​ largeur d’un rectangle 
• $$x_k:$$​ point sur la base d’un rectangle 

Surfaces : 

• Surface par rectangle : $$f(x_k)\times \Delta x$$​​
• Surface totale : $$F_n=\sum^n_{k=1}f(x_k)\Delta x$$​​
  Note : Le symbole $$\sum$$ est un sigma majuscule et représente une somme. 

Division en $$n=3$$​ sous-intervalles	Division en $$n=6$$​ sous-intervalles

Étape d’intégration : Le nombre de rectangles devient très grand et la largeur des rectangles devient très petite. L’intégrale découle de la somme $$F_n$$​ : 

​$$\lim\limits_{n\rarr\infty (\Delta x\rarr0)}F_n$$​​

Cette limite est appelée l’intégrale de la fonction $$f$$​ entre les bornes $$a$$​ et $$b$$​ et est exactement égale à l’aire sous la courbe de la fonction $$f$$​ entre les bornes $$a$$​ et $$b$$​. On écrit : 

​$$F=∫_a^bf(x) dx$$​​