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Monotonie : types et tableaux de variations

Monotonie : types et tableaux de variations

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Enseignant: Elisa

Résumés

Monotonie : types et tableaux de variations 

Définition 

On dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle I, si la fonction est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle. 



Types de monotonies 


Croissante
Décroissante
f(x)0f'(x)\ge0​​
Les valeurs de la fonction ne diminuent jamais.
f(x)0f'(x)\le0​​
Les valeurs de la fonction n’augmentent jamais.



Tableau de variation 

Tu peux utiliser les dérivées pour construire le tableau de variation de la fonction. La fonction est strictement croissante sur les intervalles où sa dérivée est positive, et strictement décroissante sur les intervalles où sa dérivée est négative. 


Construire le tableau de variation 

Méthode 

1.
Détermine la dérivée f(x)f'(x)​.
2.
Trouve les extremums de la fonction : Calcule les valeurs de x pour lesquels f(x)=0f'(x)=0​.
3.
Sépare le domaine de définition en intervalles. Les limites du domaine de définition et les extremums sont les bornes des intervalles : 
Exemple avec deux extrema xE1x_{E1}​ et xE2x_{E2}​ : 
     1. Intervalle∶ ],xE1]]-\infty ,x_{E1} ] ​​
     2. Intervalle∶
[xE1,xE2][x_{E1},x_{E2} ] ​​
     3. Intervalle∶
[xE2,+[[x_{E2},+\infty[
4.
Construis le tableau de variation de la fonction. 
Conseil : Si la variation dans un intervalle n'est pas évidente à partir des extremums, choisis une valeur x dans l'intervalle et calcule le nombre dérivé en ce point. S’il est positif, la fonction est croissante sur cet intervalle. S’il est négatif, la fonction est décroissante.



Exemple 

Étudier la variation de f(x)=2x2+8xf(x)=-2x^2+8x​ .


Calcule la dérivée :
Mathématiques; Dérivation; 1re générale; Monotonie : types et tableaux de variations
f(x)=4x+8f' (x)=-4x+8 ​​
Calcule les points où la dérivée s’annule :
4x+8=0x=2-4x+8=0⇔x=2 ​​
Calcule la dérivée en un point entre -\infty​ et 22​ :
f(1)=4×1+8=4f' (1)=-4\times1+8=4 ​​
Calcule la dérivée en un point entre 22​ et \infty​ :
f(3)=4×3+8=4f' (3)=-4\times3+8=-4 ​​
Construis le tableau de variation :

Mathématiques; Dérivation; 1re générale; Monotonie : types et tableaux de variations
La fonction est croissante en ];2]]-\infty; 2] et décroissante en [2;+[.[2; +\infty[.
Puisque sa croissance change, elle n’est pas monotone.



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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce qu'une fonction croissante ?

Comment savoir si une fonction est monotone ?

C'est quoi une fonction monotone ?

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