Monotonie : types et tableaux de variations

Définition

On dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle I, si la fonction est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle.

Types de monotonies

Croissante	Décroissante
$f'(x)\ge0$ Les valeurs de la fonction ne diminuent jamais.	$f'(x)\le0$ Les valeurs de la fonction n’augmentent jamais.

Tableau de variation

Tu peux utiliser les dérivées pour construire le tableau de variation de la fonction. La fonction est strictement croissante sur les intervalles où sa dérivée est positive, et strictement décroissante sur les intervalles où sa dérivée est négative.

Construire le tableau de variation

Méthode

1.	Détermine la dérivée $f'(x)$ .
2.	Trouve les extremums de la fonction : Calcule les valeurs de x pour lesquels $f'(x)=0$ .
3.	Sépare le domaine de définition en intervalles. Les limites du domaine de définition et les extremums sont les bornes des intervalles : Exemple avec deux extrema $x_{E1}$ et $x_{E2}$ : 1. Intervalle∶ $]-\infty ,x_{E1} ]$ 2. Intervalle∶ $[x_{E1},x_{E2} ]$ 3. Intervalle∶ $[x_{E2},+\infty[$
4.	Construis le tableau de variation de la fonction. *Conseil :* Si la variation dans un intervalle n'est pas évidente à partir des extremums, choisis une valeur x dans l'intervalle et calcule le nombre dérivé en ce point. S’il est positif, la fonction est croissante sur cet intervalle. S’il est négatif, la fonction est décroissante.

Exemple

Étudier la variation de $f(x)=-2x^2+8x$ .

Calcule la dérivée :
$f' (x)=-4x+8$
Calcule les points où la dérivée s’annule :
$-4x+8=0⇔x=2$
Calcule la dérivée en un point entre $-\infty$ * et* $2$ * :*
$f' (1)=-4\times1+8=4$
Calcule la dérivée en un point entre $2$ * et* $\infty$ * :*
$f' (3)=-4\times3+8=-4$
Construis le tableau de variation :

La fonction est croissante en $]-\infty; 2]$ et décroissante en $[2; +\infty[.$ Puisque sa croissance change, elle n’est pas monotone.