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Loi géométrique : fonctions et paramètres

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Résumé

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Loi géométrique : fonctions et paramètres

Définition

La loi géométrique est une distribution de probabilité discrète. On l’utilise dans le cas des expériences aléatoires composées (schémas de Bernoulli). 

X G(p)X~G(p)​​


La variable aléatoire XX donne l’essai auquel on obtient le premier succès, sachant que la probabilité d’un succès est pp.



Fonctions

La loi géométrique donne la probabilité d’obtenir un premier succès après exactement kk essais. Cela signifie que les k1k-1 essais précédents sont des échecs.

f(k)=P(X=k)=(1p)k1×pf\left(k\right)=P(X=k)=\left(1-p\right)^{k-1}\times p​​

pp​​

Probabilité d’un succès

1p1-p​​

Probabilité d’un échec

kk​​

Essai auquel on obtient le premier succès



Paramètres

ESPÉRANCE

E(X)=1pE\left(X\right)=\frac{1}{p}​​

VARIANCE

V(X)=1p21pV\left(X\right)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}​​

ÉCART TYPE

σ(X)=1p21p\sigma(X)=\sqrt{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}}​​


Représentation graphique :

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi géométrique : fonctions et paramètres


Exemple

On lance un dé à 88 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un premier 88 au 8eˋme8^{ème} essai ?


Probabilité d’un succès (de lancer un 88) : p=18p=\frac{1}{8}


Probabilité d’obtenir un premier succès au 8eˋme8^{ème} essai :

f(8)=(118)81×18=0,0491=4,91%f\left(8\right)=\left(1-\frac{1}{8}\right)^{8-1}\times\frac{1}{8}=0,0491=\underline{4,91\%}​​




Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi géométrique : fonctions et paramètres

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

  • Question : Quels sont les paramètres de la loi géométrique ?

    Réponse : L'espérance, la variance et l'écart-type.

  • Question : A quoi sert la loi géométrique ?

    Réponse : La loi géométrique donne la probabilité d’obtenir un premier succès après exactement k essais. Cela signifie que les (1-k) essais précédents sont des échecs.

  • Question : Qu'est-ce que la loi géométrique ?

    Réponse : La loi géométrique est une distribution de probabilité discrète. Elle est utilisée dans le cas des expériences aléatoires composées (schémas de Bernoulli).

Théorie

Exercices

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