Formule des probabilités totales

Les formules de probabilités totales permettent de calculer la probabilité d’événements qui dépendent d’autres événements.

Partition

Une partition d’un ensemble $$E$$​ est une division de $$E$$​ en plusieurs événements deux à deux distincts, non vides et dont la réunion est égale à l’ensemble $$E$$​.

Probabilités totales

La formule des probabilités totales est la suivante :

$$P\left(A\right)=P\left(A\cap B_1\right)+P\left(A\cap B_2\right)+\ldots+P\left(A\cap B_n\right)$$​​

Les ensembles $$B_i$$​ forment une partition de l’ensemble des issues possibles.

On peut aussi écrire les formules de probabilité totale avec des probabilités conditionnelles :

$$P\left(A\right)=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(A\right)+P\left(B_2\right)\times P_{B_2}\left(A\right)+\ldots+P(B_n)\times P_{B_n}(A)$$​​

Exemple 

Une maladie touche $$2\%$$ de la population. Une boîte pharmaceutique développe un test de dépistage. Pour $$99\%$$ des personnes malades, le résultat du test est positif. Pour $$95\%$$​des personnes saines, le test est négatif. Calcule la probabilité qu’un test soit positif et la probabilité qu’un test, soit négatif.

Pour t’aider, tu peux construire un arbre résumant les données de l’exercice :

Probabilité d’avoir un test positif :

$$P\left(positif\right)=P\left(sain\cap p o s i t i f\right)+P\left(malade\cap p o s i t i f\right)=P\left(sain\right)\times P_{sain}\left(positif\right)+P\left(malade\right)\times P_{malade}\left(positif\right)=0,98\times0,05+0,02\times0,99\approx0,07=\underline{7\%}$$​​

Probabilité d’avoir un test négatif :

$$P(négatif)=P(sain∩négatif)+P(malade∩négatif)=P\left(sain\right)\times P_{sain}(négatif)+P(malade)×P_{malade}(négatif)=0,98\times0,95+0,02\times0,01\approx0,93=\underline{93\%}$$​​