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Formule des probabilités totales

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Enseignant: Clémence

Résumés

Formule des probabilités totales

Les formules de probabilités totales permettent de calculer la probabilité d’événements qui dépendent d’autres événements.



Partition

Une partition d’un ensemble EE est une division de EE en plusieurs événements deux à deux distincts, non vides et dont la réunion est égale à l’ensemble EE.



Probabilités totales

La formule des probabilités totales est la suivante :

P(A)=P(AB1)+P(AB2)++P(ABn)P\left(A\right)=P\left(A\cap B_1\right)+P\left(A\cap B_2\right)+\ldots+P\left(A\cap B_n\right)​​


Les ensembles BiB_i forment une partition de l’ensemble des issues possibles.


On peut aussi écrire les formules de probabilité totale avec des probabilités conditionnelles :

P(A)=P(B1)×PB1(A)+P(B2)×PB2(A)++P(Bn)×PBn(A)P\left(A\right)=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(A\right)+P\left(B_2\right)\times P_{B_2}\left(A\right)+\ldots+P(B_n)\times P_{B_n}(A)​​



Exemple 

Une maladie touche 2%2\% de la population. Une boîte pharmaceutique développe un test de dépistage. Pour 99%99\% des personnes malades, le résultat du test est positif. Pour 95%95\%des personnes saines, le test est négatif. Calcule la probabilité qu’un test soit positif et la probabilité qu’un test, soit négatif.


Pour t’aider, tu peux construire un arbre résumant les données de l’exercice :

Mathématiques; Probabilités conditionnelles; 1re générale; Formule des probabilités totales


Probabilité d’avoir un test positif :

P(positif)=P(sainpositif)+P(maladepositif)=P(sain)×Psain(positif)+P(malade)×Pmalade(positif)=0,98×0,05+0,02×0,990,07=7%P\left(positif\right)=P\left(sain\cap p o s i t i f\right)+P\left(malade\cap p o s i t i f\right)=P\left(sain\right)\times P_{sain}\left(positif\right)+P\left(malade\right)\times P_{malade}\left(positif\right)=0,98\times0,05+0,02\times0,99\approx0,07=\underline{7\%}​​


Probabilité d’avoir un test négatif :

P(neˊgatif)=P(sainneˊgatif)+P(maladeneˊgatif)=P(sain)×Psain(neˊgatif)+P(malade)×Pmalade(neˊgatif)=0,98×0,95+0,02×0,010,93=93%P(négatif)=P(sain∩négatif)+P(malade∩négatif)=P\left(sain\right)\times P_{sain}(négatif)+P(malade)×P_{malade}(négatif)=0,98\times0,95+0,02\times0,01\approx0,93=\underline{93\%}​​




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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment calculer une probabilité totale ?

Qu'est-ce qu'une partition en probabilité ?

Quand utiliser la formule de probabilités totales ?

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