Combinatoires : coefficient binomial

Définition

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est une formule qu’on utilise principalement en combinatoire et en calcul des probabilités.

Note : On dit « $k$ parmi $n$ ».

Formule

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ :

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\times\left(n-k\right)!}$

Exemple

$\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6\times...\ \times1}{(3\times2\times1)\times(5\times4\times...\times1)}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=\underline{56}\$

Propriétés

Les formules suivantes sont souvent utiles pour transformer le coefficient binomial :

$\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\times\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\\$