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Combinatoires : coefficient binomial
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Le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}(kn)est une formule qu’on utilise principalement en combinatoire et en calcul des probabilités.
Note : On dit «kkk parmi nnn».
Le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}(kn):
(nk)=n!k!×(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\times\left(n-k\right)!}(kn)=k!×(n−k)!n!
(83)=8×7×6×... ×1(3×2×1)×(5×4×...×1)=8×7×63×2×1=56‾ \binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6\times...\ \times1}{(3\times2\times1)\times(5\times4\times...\times1)}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=\underline{56}\ (38)=(3×2×1)×(5×4×...×1)8×7×6×... ×1=3×2×18×7×6=56
Les formules suivantes sont souvent utiles pour transformer le coefficient binomial :
(n0)=1=(nn)(n1)=n=(nn−1)(nk)=(nn−k)(nk)=n−k+1k×(nk−1)(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\times\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\\(0n)=1=(nn)(1n)=n=(n−1n)(kn)=(n−kn)(kn)=kn−k+1×(k−1n)(k+1n+1)=(kn)+(k+1n)
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A donner le nombre de combinaisons possibles de k éléments parmi n.
(n¦k)=n!/(k!×(n-k)!)
Le coefficient binomial (n¦k) est une formule qu’on utilise principalement en combinatoire et en calcul des probabilités. On dit souvent : k parmi n.
Beta