Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Contexte

Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique à des fonctions continues sur un intervalle donné.

Théorème

Si $$f$$​ est une fonction continue sur un intervalle $$[a,b]$$​ et $$k$$​ est un nombre réel compris entre les images $$f(a)$$​ et $$f(b)$$​, alors il existe au moins un antécédent $$s$$​ dans l’intervalle $$[a,b]$$​ dont l’image est $$k$$​ : $$f(s)=k$$​.

Note : Il peut exister plusieurs solutions de l’équation $$f(s)=k$$​ dans l’intervalle $$[a,b]$$​. 

Corollaire

Si $$f$$​ est en plus strictement monotone sur l’intervalle $$[a,b]$$​ alors il existe un unique antécédent $$s$$​ dans l’intervalle $$[a,b]$$​ qui vérifie $$f(s)=k$$​.

 Note : Ce corolaire est aussi appelé « Théorème de la bijection ».

Application

Méthode

Exemple

La fonction $$f(x)=-x^3+2x^2-3x+5$$  est continue sur $$\mathbb{R}$$. Prouve que l'’équation $$f(x)=0$$​ n’admet qu’une seule solution.

Calcule la dérivée :

$$f'(x)=-3x^2+4x-3$$​​

Étudie le signe de la dérivée :

●      On se demande s’il existe des nombres réels  pour lesquels $$f'(x)=0 :$$

$$-3x^2+4x-3=0$$​​

Calcule le discriminant de l’équation :

$$Δ=4^2-4×(-3)×(-3)=-20$$

​​

Comme le discriminant est négatif, il n’y a pas de solutions réelles à l’équation $$f'(x)=0$$​.

●      Comme $$f'$$​  n’est jamais égal à $$0$$​ , il suffit d’étudier son signe en un point pour pouvoir déduire son signe sur tout $$\mathbb{R}$$​ , par exemple en $$x=0 :$$​

$$f'(0)=-3$$​​

La fonction $$f'$$​  est strictement négative.

La fonction $$f$$​  est donc strictement décroissante et tu déduis donc, grâce au corollaire, que l’équation $$f(x)=0$$​  n’admet qu’une seule solution.