Tout pour apprendre mieux...

Accueil

Mathématiques

Fonctions

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Choisir une leçon

Mon livre

Select an option

Vidéo Explicative

Loading...
Enseignant: Lomàn

Résumés

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Contexte

Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique à des fonctions continues sur un intervalle donné.



Théorème

Si ff​ est une fonction continue sur un intervalle [a,b][a,b]​ et kk​ est un nombre réel compris entre les images f(a) f(a)​ et f(b)f(b)​, alors il existe au moins un antécédent ss​ dans l’intervalle [a,b][a,b]​ dont l’image est kk​ : f(s)=kf(s)=k​.

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Note : Il peut exister plusieurs solutions de l’équation f(s)=kf(s)=k​ dans l’intervalle [a,b][a,b]​. 


Corollaire

Si ff​ est en plus strictement monotone sur l’intervalle [a,b][a,b]​ alors il existe un unique antécédent ss​ dans l’intervalle [a,b][a,b]​ qui vérifie f(s)=kf(s)=k​.

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

 Note : Ce corolaire est aussi appelé « Théorème de la bijection ».



Application

Méthode

1.

Vérifie que la fonction est strictement monotone sur l’intervalle donné. Pour cela, dérive la fonction et étudie son signe. La fonction est strictement monotone si la dérivée est :

      soit strictement supérieure à 00  sur l’intervalle,

      soit strictement inférieure à 00  sur l’intervalle.

2.

Utilise le théorème.


 

Exemple

La fonction f(x)=x3+2x23x+5f(x)=-x^3+2x^2-3x+5   est continue sur R\mathbb{R}Prouve que l'’équation f(x)=0 f(x)=0​ n’admet qu’une seule solution.


Calcule la dérivée :

f(x)=3x2+4x3f'(x)=-3x^2+4x-3​​

Étudie le signe de la dérivée :

      On se demande s’il existe des nombres réels  pour lesquels f(x)=0:f'(x)=0 :

3x2+4x3=0-3x^2+4x-3=0​​


Calcule le discriminant de l’équation :

Δ=424×(3)×(3)=20Δ=4^2-4×(-3)×(-3)=-20

​​

Comme le discriminant est négatif, il n’y a pas de solutions réelles à l’équation f(x)=0f'(x)=0.


      Comme ff'  n’est jamais égal à 00 , il suffit d’étudier son signe en un point pour pouvoir déduire son signe sur tout R\mathbb{R} , par exemple en x=0: x=0 :

f(0)=3f'(0)=-3​​


La fonction ff'  est strictement négative.


La fonction ff  est donc strictement décroissante et tu déduis donc, grâce au corollaire, que l’équation f(x)=0f(x)=0  n’admet qu’une seule solution.



Créer un compte pour lire le résumé

Exercices

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment étudier le signe de la dérivée?

Comment appliquer le théorème?

Qu'est ce que le théorème des valeurs intermédiaires?

Beta

Je suis Vulpy, ton compagnon de révision IA ! Apprenons ensemble.