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Mathématiques

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

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Résumé

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Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Contexte

Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique à des fonctions continues sur un intervalle donné.

Théorème

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $k$ est un nombre réel compris entre les images $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un antécédent $s$ dans l’intervalle $[a,b]$ dont l’image est $k$ : $f(s)=k$ .

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Note : Il peut exister plusieurs solutions de l’équation $f(s)=k$ dans l’intervalle $[a,b]$ .

Corollaire

Si $f$ est en plus strictement monotone sur l’intervalle $[a,b]$ alors il existe un unique antécédent $s$ dans l’intervalle $[a,b]$ qui vérifie $f(s)=k$ .

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Note : Ce corolaire est aussi appelé « Théorème de la bijection ».

Application

Méthode

1.

Vérifie que la fonction est strictement monotone sur l’intervalle donné. Pour cela, dérive la fonction et étudie son signe. La fonction est strictement monotone si la dérivée est :

● soit strictement supérieure à $0$ sur l’intervalle,

● soit strictement inférieure à $0$ sur l’intervalle.

2.

Utilise le théorème.

Exemple

La fonction $f(x)=-x^3+2x^2-3x+5$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Prouve que l'’équation $f(x)=0$  n’admet qu’une seule solution.

Calcule la dérivée :

$f'(x)=-3x^2+4x-3$ 

Étudie le signe de la dérivée :

● On se demande s’il existe des nombres réels pour lesquels $f'(x)=0 :$

$-3x^2+4x-3=0$

Calcule le discriminant de l’équation :

$Δ=4^2-4×(-3)×(-3)=-20$

Comme le discriminant est négatif, il n’y a pas de solutions réelles à l’équation $f'(x)=0$ .

● Comme $f'$ n’est jamais égal à $0$ , il suffit d’étudier son signe en un point pour pouvoir déduire son signe sur tout $\mathbb{R}$ , par exemple en $x=0 :$

$f'(0)=-3$

La fonction $f'$ est strictement négative.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante et tu déduis donc, grâce au corollaire, que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution.

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Contexte

Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique à des fonctions continues sur un intervalle donné.

Théorème

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $k$ est un nombre réel compris entre les images $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un antécédent $s$ dans l’intervalle $[a,b]$ dont l’image est $k$ : $f(s)=k$ .

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Note : Il peut exister plusieurs solutions de l’équation $f(s)=k$ dans l’intervalle $[a,b]$ .

Corollaire

Si $f$ est en plus strictement monotone sur l’intervalle $[a,b]$ alors il existe un unique antécédent $s$ dans l’intervalle $[a,b]$ qui vérifie $f(s)=k$ .

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Note : Ce corolaire est aussi appelé « Théorème de la bijection ».

Application

Méthode

1.

Vérifie que la fonction est strictement monotone sur l’intervalle donné. Pour cela, dérive la fonction et étudie son signe. La fonction est strictement monotone si la dérivée est :

● soit strictement supérieure à $0$ sur l’intervalle,

● soit strictement inférieure à $0$ sur l’intervalle.

2.

Utilise le théorème.

Exemple

La fonction $f(x)=-x^3+2x^2-3x+5$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Prouve que l'’équation $f(x)=0$  n’admet qu’une seule solution.

Calcule la dérivée :

$f'(x)=-3x^2+4x-3$ 

Étudie le signe de la dérivée :

● On se demande s’il existe des nombres réels pour lesquels $f'(x)=0 :$

$-3x^2+4x-3=0$

Calcule le discriminant de l’équation :

$Δ=4^2-4×(-3)×(-3)=-20$

Comme le discriminant est négatif, il n’y a pas de solutions réelles à l’équation $f'(x)=0$ .

● Comme $f'$ n’est jamais égal à $0$ , il suffit d’étudier son signe en un point pour pouvoir déduire son signe sur tout $\mathbb{R}$ , par exemple en $x=0 :$

$f'(0)=-3$

La fonction $f'$ est strictement négative.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante et tu déduis donc, grâce au corollaire, que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution.

Mathématiques; Fonctions; Tle générale; Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Comment étudier le signe de la dérivée?

Réponse : 1. On se demande s’il existe des nombres réels x pour lesquels f'x=0 : 2. Calcule le discriminant de l’équation. Si le discriminant est négatif, alors il n’y a pas de solutions réelles à l’équation f'x=0.
Question : Comment appliquer le théorème?

Réponse : Il faut d'abord vérifier que la fonction soit strictement monotone sur l’intervalle donné. Pour cela, il faut dériver la fonction et étudier son signe. La fonction est strictement monotone si la dérivée est : soit strictement supérieure à 0 sur l’intervalle, soit strictement inférieure à 0 sur l’intervalle. Ensuite, il faut utiliser le théorème.
Question : Qu'est ce que le théorème des valeurs intermédiaires?

Réponse : Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique à des fonctions continues sur un intervalle donné. Si f est une fonction continue sur un intervalle a, b et k est un nombre réel compris entre les images f(a) et f(b), alors il existe au moins un antécédent s dans l’intervalle [a, b] dont l’image est k : fs=k.

Théorie

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