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Suites : théorème sur la convergence

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Suites : théorème sur la convergence

Théorème 


Si la suite unu_nun​​ est croissante et majorée par un nombre réel MMM​, alors elle converge vers un nombre l≤Ml\le Ml≤M​.

Si la suite unu_nun​​ est décroissante et minorée par un nombre réel MMM​, alors elle converge vers un nombre l≥Ml\ge Ml≥M​. 



Application 

MÉthode 

1.
Détermine en évaluant un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​​ si la suite est croissante, décroissante ou ni l’un ni l’autre.
2.
Si la suite est croissante, détermine si elle majorée.
Si la suite est décroissante, détermine si elle est minorée.
3.
Si la suite est soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée, applique le théorème.


Exemple 


​un=n+1nu_n=\frac{n+1}{n}un​=nn+1​​​


Détermine la croissance : 


​un+1−un=(n+1)+1n+1−n+1nu_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)+1}{n+1}-\frac{n+1}{n}un+1​−un​=n+1(n+1)+1​−nn+1​​​


Simplifie : 


​=n((n+1)+1)−(n+1)(n+1)(n+1)n=n(n+2)−(n+1)2(n+1)n=n2+2n−n2−2n−1n2+n=−1n2+n=\frac{n((n+1)+1)-(n+1)(n+1)}{(n+1)n}=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)n}\\=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n^2+n}=-\frac{1}{n^2+n}=(n+1)nn((n+1)+1)−(n+1)(n+1)​=(n+1)nn(n+2)−(n+1)2​=n2+nn2+2n−n2−2n−1​=−n2+n1​​​


Comme n>0n>0n>0​, la différence un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​​ est toujours négative et la suite est donc décroissante. 


Détermine si la suite est minorée : 


n+1n>0\frac{n+1}{n}>0nn+1​>0​ puisque n>0n>0 n>0​


Donc la suite est minorée par 000​. 


En utilisant le théorème, tu peux conclure que la suite est convergente. 


Illustration de la suite :

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment déterminer qu'une suite converge ?

Commence par déterminer en évaluant u_(n+1)-u_n si la suite est croissante, décroissante ou ni l’un ni l’autre. Ainsi si la suite est croissante, détermine si elle majorée. Si la suite est décroissante, détermine si elle est minorée. Si la suite est soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée, applique le théorème de la convergence.

Que puis-je déduire d'une suite décroissante et minorée ?

Si la suite u_n est décroissante et minorée par un nombre réel M, alors elle converge vers un nombre l≥M.

Que puis-je déduire d'une suite croissante et majorée ?

Si la suite u_n est croissante et majorée par un nombre réel M, alors elle converge vers un nombre l≤M.

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