Une équation différentielle est non homogène si un de ses termes ne contient pas l’inconnue y. C’est une équation soit de la forme y′=ay+b si le terme qui ne contient pas y est une constante (b), soit de la forme y′=ay+f si le terme qui ne contient pas y est une fonction (f).
Exemples
y’’+2y=0 est une équation homogène. y’’+2y=3 n’est pas une équation homogène. y’’+2y=4x n’est pas une équation homogène.
Solutions d’une équation différentielle non homogène
Forme y′=ay+b
Les solutions sur R de l’équation différentielle y′=ay+b sont les fonctions :
y(x)=keax−ab
avec k∈R une constante. Pour déterminer la valeur de k, il faut qu’une condition initiale soit donnée.
Note 1 : Sans condition initiale, il ne faut pas enlever la constante k des solutions. On trouve ainsi un ensemble de solutions et pas une solution unique.
Exemple
Ecris les solutions de l’équation suivante :
{y′−3yy(0)=2=1
Ramène l’équation donnée à la forme y′=ay+b :
y′=3y+2
Remplace les coefficients a et b dans les solutions y(x)=keax−ab
y(x)=ke3x−32
Utilise la condition initiale pour déterminer k :
y(0)=1⇒ke3×0−32=1⇒k=1+32=35
La solution unique est donc :
y(x)=35e3x−32=31(5e3x−2)
Forme y′=ay+f
Si une solution particulière y0 de l’équation différentielle y′=ay+f est connue, alors l’ensemble de solutions de cette équation sont :
y(x)=keax+y0
avec k∈R une constante. Pour déterminer la valeur de k, il faut qu’une condition initiale soit donnée.
Note 2 : Sans condition initiale, il ne faut pas enlever la constante k des solutions. On trouve ainsi un ensemble de solutions et pas une solution unique.
Exemple
Ecris les solutions de l’équation suivante :
y−y′=x2−3x+1 avec y0=x2−x une solution particulière
Vérifie que y0 est bien une solution de l’équation différentielle donnée :
y0′=2x−1
y0−y0′=x2−x−(2x−1)=x2−x−2x+1=x2−3x+1
Ramène l’équation donnée à la forme y′=ay+f :
y′=y−x2+3x−1
Remplace le coefficient a et la solution particulière y0 dans les solutions y(x)=keax+y0 :
y(x)=kex+x2−x
Pour trouver l’ensemble de solutions.
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Durée:
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Équations différentielles : primitives et conditions
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Équations différentielles non homogènes
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Qu'elle est la solution d'une équation non homogène de la forme y'=ay+f ?
Si une solution particulière y_0 de l’équation différentielle y'=ay+f est connue, alors l’ensemble de solutions de cette équation sont : y(x)=ke^(ax)+y_0 avec avec k ∈ R une constante.
Pour déterminer la valeur de 𝑘, il faut qu’une condition initiale soit donnée.
Qu'elle est la solution d'une équation non homogène de la forme Forme 𝒚'=𝒂𝒚+𝒃 ?
Les solutions sur R de l’équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏 sont les fonctions : y(x)=ke^(ax)-b/a, avec k ∈ R une constante.
Pour déterminer la valeur de k, il faut qu’une condition initiale soit donnée.
Qu'est-ce qu'une équation différentielle non homogène ?
Une équation différentielle est non homogène si un de ses termes ne contient pas l’inconnue 𝒚. C’est une équation soit de la forme 𝒚' = 𝒂𝒚 + 𝒃 si le terme qui ne contient pas 𝒚 est une constante (𝒃), soit de la forme 𝒚' = 𝒂𝒚 + 𝒇 si le terme qui ne contient pas 𝒚 est une fonction (𝒇).
