Continuité et dérivabilité d'une fonction
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Continuité et dérivabilité d'une fonction
Continuité
Idée générale
Une fonction est continue si on peut dessiner sa courbe « sans lever le crayon », c’est-à-dire qu’elle ne possède pas de « sauts » ni de « trous ».
Définition
Une fonction est continue en un point si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction. Autrement dit, si on s’approche de l’abscisse le long de la courbe par la gauche ou par la droite, on s’approche aussi de la valeur de . On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Exemples de fonctions continues sur leur ensemble de définition :
Fonctions polynomiales, rationnelles, racines, exponentielles, trigonométriques
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
Fonction continue | Fonction discontinue |
La fonction n’a pas de sauts/trous. Elle est continue.  | La fonction a un saut et est donc discontinue en ce point.  |
Comment déterminer si une fonction est continue ?
La fonction donnée est souvent définie par morceaux, eux-mêmes bien souvent continus (par exemple, chaque morceau est un polynôme). Il suffit de vérifier la continuité de la fonction aux points de jonction des intervalles.
MÉTHODE
1. | Détermine les points où la continuité doit être vérifiée : par exemple au début et à la fin des intervalles utilisés dans la définition de la fonction. |
2. | Calcule la limite à gauche et la limite à droite en ces points : et |
3. | Compare les limites. Si les limites sont identiques et égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est continue en ce point, si les limites sont différentes l’une de l’autre ou ne sont pas égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est discontinue en ce point. |
Note : La fonction est discontinue s’il existe au moins un point où elle n’est pas continue.
Exemple
Détermine si la fonction suivante est continue :
Les points à vérifier sont ceux auxquels deux intervalles se rejoignent.
Vérifie la continuité en 4 :
Limite à gauche : | |
Limite à droite : | |
Image de : | |
La fonction est continue en 4.
Vérifie la continuité en 7 :
Limite à gauche : | |
Limite à droite : | |
Image de : | |
La fonction n’est pas continue en 7.
La fonction f est donc discontinue.
Relation avec la dérivabilité
Quand une fonction est dérivable en un point , elle est automatiquement continue en . Autrement dit, si une fonction n’est pas continue en un point, elle ne peut pas être dérivable. L’inverse est toutefois possible : une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.
Exemple
La fonction est continue au point mais n’est pas dérivable en ce point.
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment comprendre limite et continuité ?
Détermine les points où la continuité doit être vérifiée : par exemple au début et à la fin des intervalles utilisés dans la définition de la fonction. Calcule la limite à gauche et la limite à droite en ces points. Compare les limites. Si les limites sont identiques et égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est continue en ce point, si les limites sont différentes l’une de l’autre ou ne sont pas égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est discontinue en ce point.
Comment prouver la continuité ?
Une fonction est continue en un point x_0 si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction.
Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?
Une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.
Beta