Une fonction est continue si on peut dessiner sa courbe « sans lever le crayon », c’est-à-dire qu’elle ne possède pas de « sauts » ni de « trous ».
Définition
Une fonction est continue en un point x0 si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction. Autrement dit, si on s’approche de l’abscisse x0 le long de la courbe par la gauche ou par la droite, on s’approche aussi de la valeur de f(x0). On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Exemples de fonctions continues sur leur ensemble de définition :
La fonction n’a pas de sauts/trous. Elle est continue.
La fonction a un saut et est donc discontinue en ce point.
Comment déterminer si une fonction est continue ?
La fonction donnée est souvent définie par morceaux, eux-mêmes bien souvent continus (par exemple, chaque morceau est un polynôme). Il suffit de vérifier la continuité de la fonction aux points de jonction des intervalles.
MÉTHODE
1.
Détermine les points où la continuité doit être vérifiée : par exemple au début et à la fin des intervalles utilisés dans la définition de la fonction.
2.
Calcule la limite à gauche et la limite à droite en ces points :
x→x0(x<x0)limf(x) etx→x0(x>x0)limf(x)
3.
Compare les limites. Si les limites sont identiques et égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est continue en ce point, si les limites sont différentes l’une de l’autre ou ne sont pas égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est discontinue en ce point.
Note :La fonction est discontinue s’il existe au moins un point où elle n’est pas continue.
Les points à vérifier sont ceux auxquels deux intervalles se rejoignent.
Vérifie la continuité en 4 :
Limite à gauche :
x→4(x<4)limf(x)=x→4(x<4)lim4x=16
Limite à droite :
x→4(x>4)limf(x)=x→4(x>4)lim(3x+4)=16
Image de f :
f(4)=3×4+4=16
La fonction est continue en 4.
Vérifie la continuité en 7 :
Limite à gauche :
x→7(x<7)limf(x)=x→7(x<7)lim(3x+4)=25
Limite à droite :
x→7(x>7)limf(x)=x→7(x>7)lim(−x+8)=1
Image de f :
f(7)=−7+8=1
La fonction n’est pas continue en 7.
La fonction f est donc discontinue.
Relation avec la dérivabilité
Quand une fonction est dérivable en un point x0, elle est automatiquement continue en x0. Autrement dit, si une fonction n’est pas continue en un point, elle ne peut pas être dérivable. L’inverse est toutefois possible : une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.
Exemple
La fonction ∣x∣ est continue au point (0;0) mais n’est pas dérivable en ce point.
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Durée:
Unité 1
Continuité et dérivabilité d'une fonction
Test final
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment comprendre limite et continuité ?
Détermine les points où la continuité doit être vérifiée : par exemple au début et à la fin des intervalles utilisés dans la définition de la fonction. Calcule la limite à gauche et la limite à droite en ces points. Compare les limites. Si les limites sont identiques et égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est continue en ce point, si les limites sont différentes l’une de l’autre ou ne sont pas égales à l’image de la fonction en ce point, la fonction est discontinue en ce point.
Comment prouver la continuité ?
Une fonction est continue en un point x_0 si la limite en ce point existe et est égale à l’image de la fonction.
Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?
Une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.