Dérivée des composées : règles et règles mixtes

Règle pour la composition

On utilise cette règle quand la fonction à dériver est une composition de deux fonctions, c’est-à-dire une fonction dont l’argument est une autre fonction.

Règle

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$u(v(x))$	$\underbrace{u'(v(x))}_{\text{Dérivée extérieure}}\times\underbrace{v'(x)}_{\text{Dérivée intérieure}}$

Méthode pour la dérivation

1.	Dérive la fonction extérieure $u(x)$ et la fonction intérieure $v(x)$ individuellement. Conseil : Pour la fonction extérieure, écris un $x$ à la place de la fonction intérieure et ensuite dérive.
2.	Assemble les fonctions et leurs dérivées selon la règle. Note : Pour la dérivée de la fonction extérieure, écris la fonction intérieure (pas sa dérivée) à la place du $x$ .
3.	Simplifie le terme autant que possible.

Exemple

$f(x)=(x^2-3)^3$

Dérive Individuellement les fonctions :

Fonctions	Dérivée
Extérieure $u(x)= x^3$	$u'(x)= 3x^2$
Intérieure $v(x)= x^2-3$	$v'(x)= 2x$

Assemblage selon la règle :

$f'(x)=\underbrace{3\times(x^2-3)^2}_{u'(v(x))}\times\underbrace{2x}_{v'(x)}$

Calcule et simplifie :

$=\underline{6x(x^2-3)^2}$

Règles mixtes

Souvent, les fonctions sont composées de telle manière qu’on doit appliquer plusieurs règles pour les dériver. Utilise les règles progressivement de l'extérieur à l'intérieur.

Exemple

$f(x)=3x\times \sqrt{7x^2+1}$

Étape 1 : Règle du produit

$u(x)=3x$	$u'(x)=3$
$v(x)=\sqrt{7x^2+1}$	Fonction composée

Étape 2 : Règle de la composition pour $v(x)=\sqrt{7x^2+1}=a(b(x))$

$a(x)=\sqrt x=x^{-\frac12}$	$a'(x)=\frac12 x^{-\frac12}$
$b(x)=7x^2+1$	$b'(x)=14x$

Applique la règle de la composition :

$v' (x)=\frac12 (7x^2+1)^{-\frac12}\times 14x=7x(7x^2+1)^{-\frac12}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}$

Applique la règle du produit :

$f'(x)=\underbrace{3}_{u'(x)}\times\underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\times \underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v'(x)}$

Simplifie :

$f'(x)=3\times\sqrt{7x^2+1}\times\frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\times(7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}}$