Équations différentielles : primitives et conditions

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation contient habituellement une ou plusieurs dérivées de la fonction recherchée.

Exemple

$f' (x)-x=x+3$ est une équation différentielle.
La fonction $f(x)=x^2+3x$  est une solution de cette équation, car $f' (x)-x= 2x+3- x=x+3$ .

Note 1 : La solution trouvée n’est pas nécessairement unique. La fonction $g(x)=x^2+3x+1$ est, par exemple, une autre solution.

Note 2 : On écrit parfois $f’$ à la place de $f’(x)$ . La lettre $y$ est également souvent utilisée pour désigner la fonction inconnue dans une équation différentielle. La dérivée contenue dans l’équation différentielle est dans ce cas écrite : $y'$ ou $y'(x)$ .

Primitive

Pour résoudre l’équation différentielle $y'=f$ , il faut trouver une fonction $y$ dont la dérivée est égale à $f$ . Cette fonction s’appelle la primitive. Pour la trouver, il faut donc faire l’inverse de l’opération de dérivation.

Note 3 : On écrit généralement la primitive avec une lettre majuscule. Ainsi, la primitive de $f(x)$  est $F(x)$ .

Dans l’exemple ci-dessus, on voit qu’il peut exister plusieurs primitives d’une même fonction. De manière générale, si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ , alors $F(x)+k$ , où $k$ est une constante, l’est aussi.

Condition initiale

Des conditions initiales sont parfois imposées afin de restreindre l’ensemble des solutions.
Elles apparaissent le plus souvent sous la forme d’une valeur que la fonction (ou sa dérivée) doit prendre en $0$ .

Exemple

L’équation différentielle suivante a la condition initiale $y(0)=4$ :

$\begin{cases} y'(x) &= 2x+3\\ y(0) &=4\end{cases}$

La solution de cette équation doit respecter cette condition. La fonction n’est donc plus une solution, car elle ne prend pas la valeur au point $f(x)=x^2+3x$ . $(f(0)=0)$ 

Types d’équations

Les équations différentielles peuvent être classifiées de plusieurs façons.

	Définition	Exemple
ordre	La plus haute dérivée présente dans l’équation détermine l’ordre de celle-ci.	$y’’+2y=3$ est une équation d’ordre $2$ * car la plus haute dérivée est la deuxième dérivée.*
homogène vs non homogène	Une équation différentielle est homogène si tous ses termes contiennent un y.	$y’’+2y=0$ est une équation homogène. $y’’+2y=3x$ n’est pas une équation homogène.
linéaire vs non	Si la fonction inconnue et ses dérivées n’apparaissent qu’en tant que terme multiplié par un coefficient (et pas dans une puissance), l’équation est linéaire. $y’'+2y=3$ est une équation linéaire.	$y’'+2y=3$ est une équation linéaire. $y’’+2y^2=3$ * n’est pas linéaire car l’inconnue apparaît élevée au carré.*