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Loi binomiale : formules et paramètres

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Enseignant: Elisa

Résumés

Loi binomiale : formules et paramètres

Définition

La loi binomiale est l’une des plus importantes lois de probabilité discrète. Elle entre en jeu lorsqu’on a une expérience aléatoire sous la forme d’un processus de Bernoulli :

  • Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles.
  • Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.

Note : La loi binomiale d’une expérience répétée nn fois et avec une probabilité de succès pp se note B(n,p).B\left(n,p\right).



Formules

La loi binomiale est tirée du schéma de Bernoulli.

P(X=k)=(nk)×pk×(1p)nkP\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\times p^k\times\left(1-p\right)^{n-k}​​

pp​​

Probabilité de l’événement aléatoire

nn​​

Nombre de répétitions de l’expérience aléatoire

kk​​

Nombre de succès


La fonction de répartition additionne les résultats (probabilités) de la loi binomiale.

P(Xk)=i=0k(ni)×pi×(1p)niP\left(X\le k\right)=\sum_{i=0}^{k}{\binom{n}{i}\times p^i\times\left(1-p\right)^{n-i}}​​

pp​​

Probabilité de l’événement aléatoire

nn​​

Nombre de répétitions de l’expérience aléatoire

kk​​

Limite supérieure du succès

II​​

Variable d’exécution


Paramètres

ESPÉRANCE 

E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p​​

VARIANCE

V(X)=n×p×(1p)V\left(X\right)=n\times p\times(1-p)​​

ÉCART TYPE

σ(X)=n×p×(1p)\sigma(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)}​​


Exemple

Un joueur de basket a une probabilité de 60%60\% de marquer un panier. Quelle est la probabilité qu'il marque 88 paniers ou plus sur 1010 tirs ? Quels sont l’espérance, la variance et l’écart-type de cette expérience ?


Tableau avec les variables :

pp​​

0,60,6​​

1p1-p​​

0,40,4​​

nn​​

1010​​

kk​​

8,9,108,9,10​​


Calcul de la probabilité :

P(X8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)P\left(X\geq8\right)=P\left(X=8\right)+P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)​​


Introduis dans la formule :

=(108)×0,68×0,42+(109)×0,69×0,41+(1010)×0,610×0,400,167=16,7%=\binom{10}{8}\times{0,6}^8\times{0,4}^2+\binom{10}{9}\times{0,6}^9\times{0,4}^1+\binom{10}{10}\times{0,6}^{10}\times{0,4}^0\approx0,167=\underline{16,7\%}​​


Représentation dans le diagramme :

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi binomiale : formules et paramètres


Espérance, variance et écart type :

E(X)=10×0,6=6V(X)=10×0,6×0,4=2,4σ(X)=10×0,6×0,41,55E\left(X\right)=10\times0,6=\underline{6}\\V\left(X\right)=10\times0,6\times0,4=\underline{2,4}\\\sigma\left(X\right)=\sqrt{10\times0,6\times0,4}\approx\underline{1,55}​​





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