Loi binomiale : formules et paramètres

Définition

La loi binomiale est l’une des plus importantes lois de probabilité discrète. Elle entre en jeu lorsqu’on a une expérience aléatoire sous la forme d’un processus de Bernoulli :

Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles.
Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.

Note : La loi binomiale d’une expérience répétée $n$ fois et avec une probabilité de succès $p$ se note $B\left(n,p\right).$

Formules

La loi binomiale est tirée du schéma de Bernoulli.

$P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\times p^k\times\left(1-p\right)^{n-k}$	$p$	Probabilité de l’événement aléatoire
	$n$	Nombre de répétitions de l’expérience aléatoire
	$k$	Nombre de succès

La fonction de répartition additionne les résultats (probabilités) de la loi binomiale.

$P\left(X\le k\right)=\sum_{i=0}^{k}{\binom{n}{i}\times p^i\times\left(1-p\right)^{n-i}}$	$p$	Probabilité de l’événement aléatoire
	$n$	Nombre de répétitions de l’expérience aléatoire
	$k$	Limite supérieure du succès
	$I$	Variable d’exécution

Paramètres

ESPÉRANCE	$E\left(X\right)=n\times p$
VARIANCE	$V\left(X\right)=n\times p\times(1-p)$
ÉCART TYPE	$\sigma(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)}$

Exemple

Un joueur de basket a une probabilité de $60\%$ de marquer un panier. Quelle est la probabilité qu'il marque $8$ paniers ou plus sur $10$  tirs ? Quels sont l’espérance, la variance et l’écart-type de cette expérience ?

Tableau avec les variables :

$p$	$0,6$
$1-p$	$0,4$
$n$	$10$
$k$	$8,9,10$

Calcul de la probabilité :

$P\left(X\geq8\right)=P\left(X=8\right)+P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)$

Introduis dans la formule :

$=\binom{10}{8}\times{0,6}^8\times{0,4}^2+\binom{10}{9}\times{0,6}^9\times{0,4}^1+\binom{10}{10}\times{0,6}^{10}\times{0,4}^0\approx0,167=\underline{16,7\%}$

Représentation dans le diagramme :

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi binomiale : formules et paramètres

Espérance, variance et écart type :

$E\left(X\right)=10\times0,6=\underline{6}\\V\left(X\right)=10\times0,6\times0,4=\underline{2,4}\\\sigma\left(X\right)=\sqrt{10\times0,6\times0,4}\approx\underline{1,55}$