Équation standard de la sphère
Définition
Équation standard de la sphère
Sphère de centre M(xM;yM;zM) et de rayon r :
Note : Les sphères décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.
Exemple
Donne l’équation de la sphère de centre M(1;−2;4) et rayon r=3 :
Équation : (x−1)2+(y+2)2+(z−4)2=9
Trouver l’équation de la sphère
Équation de la sphère
Le centre M et un point P sur la sphère sont donnés.
MÉTHODE
1. | Calcule le rayon r, qui correspond à la distance de M à P :
∥MP∥=(xP−xM)2+(yP−yM)2+(zP−zM)2
|
2. | Écris l’équation de la sphère pour les valeurs de r et M. |
Exemple
Trouve l’équation de la sphère de centre M(−2;2;1) comportant le point P(1;−2;−1).
Calcule le rayon :
r=∥MP∥=(1−(−2))2+(−2−2)2+(−1−1)2=29
Forme l’équation standard de la sphère:
(x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=29
Méthode pour les exercices typiques
Trouver le milieu et rayon d’une sphère à partir d’une équation
MÉTHODE
1. | Pour chaque variable, utilise la complétion du carré pour obtenir des termes de forme (x−xM)2,(y−yM)2 et (z−zM)2. |
2. | Écris l’équation sous la forme souhaitée : -
Parenthèses au carré à gauche
-
Nombres à droite
|
3. | Le rayon et les coordonnées du centre peuvent être extraits directement de l’équation standard. |
Conseil : Le rayon (à droite dans la forme standard) doit être positif. Sinon ce n’est pas une sphère.
Exemple
Sphère d’équation : x2+y2+z2+4x−8y+6z+4=0
Complétion du carré :
x2+4xcompleˊteˊ+4−4+y2−8ycompleˊteˊ+16−16+z2+6zcompleˊteˊ+9−9=−4
(x+2)2−4+(y−4)2−16+(z−3)2−9+4=0
Retrouve l’équation standard de la sphère :
(x+2)2+(y−4)2+(z−3)2=25
Déduis-en le rayon et les coordonnées du centre :
r=5 M(−2;4;3)