Équation standard de la sphère

Définition

Équation standard de la sphère

Sphère de centre $$M(x_M;y_M;z_M)$$​ et de rayon $$r$$​ :

Note : Les sphères décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Exemple  

Donne l’équation de la sphère de centre $$M(1;-2;4)$$​ et rayon $$r=3$$​ :

Équation : $$\underline{\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9}$$​

Trouver l’équation de la sphère

Équation de la sphère

Le centre $$M$$​ et​ un point $$P$$​ sur la sphère sont donnés.

MÉTHODE

Exemple 

Trouve l’équation de la sphère de centre $$M\left(-2;2;1\right)\$$​ comportant le point $$P\left(1;-2;-1\right)$$​.

Calcule le rayon :

$$r=\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(1-(-2))^2+(-2-2)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{29}$$​​

Forme l’équation standard de la sphère:

$$\underline{\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29}$$​​

Méthode pour les exercices typiques

Trouver le milieu et rayon d’une sphère à partir d’une équation

MÉTHODE

Conseil : Le rayon (à droite dans la forme standard) doit être positif. Sinon ce n’est pas une sphère.

Exemple 

Sphère d’équation : $$\ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0$$​

Complétion du carré :

$$x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{complété}+y^2-8y\underbrace{+ 16-16}_{complété}+z^2+6z\underbrace{+ 9-9}_{complété}=-4$$​​

$${(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0$$​​

Retrouve l’équation standard de la sphère :

$${(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25$$​​

Déduis-en le rayon et les coordonnées du centre :

$$\underline{r=5}\ \ \ \ \ \ \ \underline{M(-2;4;3)}$$​​