Le projeté orthogonal d’un point $$C$$​ sur une droite passant par les points $$A$$​ et $$B$$​ est le point de la droite le plus proche de $$C$$​. Il correspond au point $$H$$​ sur le schéma ci-contre.

La distance entre le point $$C$$​ et la droite est la distance .

Le produit scalaire entre deux vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$​ et $$\overrightarrow{AC}$$​ est égal à la longueur du vecteur $$\overrightarrow{AB}$$​ multipliée par la longueur de la projection orthogonale $$\overrightarrow{AH}$$​ du vecteur $$\overrightarrow{AC}$$​ sur $$\overrightarrow{AB}$$​ : 

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\times\lVert\overrightarrow{AH}\rVert$$​​

Le projeté orthogonal d’un point $$S$$​ sur un plan $$E$$​ est le point du plan $$E$$​ le plus proche de $$A$$​. Il correspond au point $$H$$​ sur le schéma ci-contre.

Il s’agit du seul point $$H$$​ du plan tel que $$\overrightarrow{AH}$$​ est orthogonal au plan $$E.$$​

La distance entre le point $$A$$​ et le plan $$E$$​ est la distance $$AH$$​.

1.

Définis la droite $$D^\prime$$​ perpendiculaire à la droite $$D$$​.

Utilise le vecteur normal $$\left(\begin{matrix}u\\v\\\end{matrix}\right)$$​ de la droite $$D$$​ comme vecteur directeur de la droite $$D^\prime.$$​ Autrement dit, le vecteur normal de $$D^\prime$$​ est $$\left(\begin{matrix}-v\\u\\\end{matrix}\right)$$​ :

$$-vx+uy+w^\prime=0$$​​

2.

Utilise les coordonnées du point $$A$$​ pour trouver la valeur $$w\prime\$$​ :

$$-va_x+ua_y+w^\prime=0$$​​

3.

Trouve le point d’intersection $$H(h_x,h_y)$$​ entre la droite $$D$$​ et la droite $$D'$$​.

$$\begin{cases}uh_x+vh_y+w=0\\-vh_x+uh_y+w'=0\end{cases}$$​​

Il s’agit du projeté orthogonal de $$A$$​ sur $$D$$​.