Projection orthogonale : coordonnées du projeté

Définition

Sur une droite

Le projeté orthogonal d’un point $C$ sur une droite passant par les points $A$ et $B$ est le point de la droite le plus proche de $C$ . Il correspond au point $H$ sur le schéma ci-contre.

La distance entre le point $C$ et la droite est la distance .

Le produit scalaire entre deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est égal à la longueur du vecteur $\overrightarrow{AB}$ multipliée par la longueur de la projection orthogonale $\overrightarrow{AH}$ du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sur $\overrightarrow{AB}$ :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\times\lVert\overrightarrow{AH}\rVert$

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Sur un plan

Le projeté orthogonal d’un point $S$ sur un plan $E$ est le point du plan $E$ le plus proche de $A$ . Il correspond au point $H$ sur le schéma ci-contre.

Il s’agit du seul point $H$ du plan tel que $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal au plan $E.$

La distance entre le point $A$ et le plan $E$ est la distance $AH$ .

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Trouver les coordonnées du projeté orthogonal

Détermine-le projeté orthogonal d’un point $A(a_x,a_y)$ sur une droite $D$ d’équation $ux+vy+w=0$ .

MÉTHODE

1.

Définis la droite $D^\prime$ perpendiculaire à la droite $D$ .

Utilise le vecteur normal $\left(\begin{matrix}u\\v\\\end{matrix}\right)$ de la droite $D$ comme vecteur directeur de la droite $D^\prime.$ Autrement dit, le vecteur normal de $D^\prime$ est $\left(\begin{matrix}-v\\u\\\end{matrix}\right)$ :

$-vx+uy+w^\prime=0$

2.

Utilise les coordonnées du point $A$ pour trouver la valeur $w\prime\$ :

$-va_x+ua_y+w^\prime=0$

3.

Trouve le point d’intersection $H(h_x,h_y)$ entre la droite $D$ et la droite $D'$ .

$\begin{cases}uh_x+vh_y+w=0\\-vh_x+uh_y+w'=0\end{cases}$

Il s’agit du projeté orthogonal de $A$ sur $D$ .

Exemple

Trouve le projeté orthogonal de $A\left(-2;2\right)$ sur la droite d’équation $-x-3y+5=0$ .

Définis la droite perpendiculaire $D'$  :

$3x-y+w^\prime=0$

Trouve la valeur $w'$  :

$3\times(-2)-2+w^\prime=0\\w^\prime=8$

Trouve le point d’intersection entre $D$ et $D'$  :

$\begin{cases}-h_x-3h_y+5=0\\3h_x-h_y+8=0\end{cases}$

Résous le système :

${-h}_x-3h_y+5=0\Rightarrow-3h_y+5=h_x\\3\times\left(-3h_y+5\right)-h_y+8=0\Rightarrow h_y=\frac{23}{10}\\h_x=-3\times\frac{23}{10}+5=-\frac{19}{10}$

Le point d’intersection est $\underline{H(-\frac{19}{10},\frac{23}{10})}$ .