Primitives : théorème fondamental de l'analyse

Définition 

Primitive 

La dérivée de la primitive d’une fonction donne à nouveau la fonction. 

Intégration 

Comme tu vas le voir dans le théorème suivant, tu peux retrouver la primitive d’une fonction à l’aide du calcul intégral. 

​$$f(x)\xrightarrow{\text{Intégrer}} F(x)$$​​

Théorème fondamental de l’analyse 

La fonction $$F_a (x)$$​ est l’une des primitives d’une fonction $$f$$​ continue sur un intervalle $$]a;b[$$​. Elle est définie comme suit : 

​$$F_a (x)=∫_a^xf(t)dt$$​​

C’est la seule primitive de $$f$$​ qui s’annule en $$a$$​. 

En conséquence, en prenant l’une des primitives $$F$$​ de $$f$$​, on $$a$$​ : 

​$$F(b)-F(a)=∫_a^bf(t)dt$$​​

Note 1 : On utilise souvent la notation $$[F(t)]_a^b=F(b)-F(a)$$. 

Note 2 : Toute fonction continue sur un intervalle admet donc des primitives. 

Calculer une intégrale à l’aide des primitives 

Méthode 

Exemple 

​$$∫_0^13x^2 dx$$​​

Trouve une primitive : 

​$$F(x)=x^3$$​​

Utiliser les bornes : 

​$$∫_0^13x^2 dx=F(1)-F(0)=1^3-0^3=\underline{1}$$​​