Intégration par parties : formule

L'intégration par parties est une méthode possible pour déterminer l'intégrale de produits de fonctions.

Formule

$∫_a^bu(x)×v' (x)dx=[u(x)×v(x)]_a^b-∫_a^bu'(x)×v(x)dx$

L'intégration par parties sépare l'intégrale en une partie déjà intégrée (à gauche) et une partie qui doit encore être intégrée. Cette séparation a pour but de faciliter le calcul.

Méthode

1.	Choisis $u(x)$ et $v' (x)$ . Conseils : $u(x)$ : partie de la fonction qui peut être dérivée rapidement et dont la dérivée est très simple. Exemple : $x\xrightarrow[\text{Derivée}]{}1$ $v' (x)$ : partie de la fonction à partir de laquelle on peut facilement former la primitive. Exemple : $e^x\xrightarrow[Intégrale]{}e^x$
2.	Calcule $u'(x)$ et $v(x)$ .
3.	Assemble $u(x)$ , $u'(x)$ , $v(x)$ et $v'(x)$ selon la formule : $∫_a^bu(x)×v' (x)dx=[u(x)×v(x)]_a^b-∫_a^bu'(x)×v(x)dx$
4.	Continue l’intégration.

Exemple

$∫_0^1xe^x dx$

Choisis les fonctions $u(x)$ et $v'(x)$ :

$u(x)=x\\v'(x)=e^x$

On peut facilement dériver $u(x)$ :

$u'(x)=1$

On peut facilement intégrer $v'(x)$ :

$v(x)=e^x$

Utilise la formule :

$=\bigg[\underbrace{x}_{u}\times\underbrace{e^x}_{v}\bigg]_1^0 -\int^1_0\underbrace{1}_{u'}\times \underbrace{e^x}_{v}dx$

Continue l’intégration :

$=[xe^x ]_0^1-[e^x ]_0^1\\=1×e^1-0×e^0-(e^1-e^0 )=e-0-(e-1)=\underline{1}$