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Intégration par parties : formule

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Enseignant: Clémence

Résumés

Intégration par parties : formule

L'intégration par parties est une méthode possible pour déterminer l'intégrale de produits de fonctions. 


Formule 


abu(x)×v(x)dx=[u(x)×v(x)]ababu(x)×v(x)dx∫_a^bu(x)×v' (x)dx=[u(x)×v(x)]_a^b-∫_a^bu'(x)×v(x)dx​​


L'intégration par parties sépare l'intégrale en une partie déjà intégrée (à gauche) et une partie qui doit encore être intégrée. Cette séparation a pour but de faciliter le calcul. 


Méthode 

1.
Choisis u(x)u(x)​ et v(x)v' (x)​. Conseils : 
  • u(x)u(x)​: partie de la fonction qui peut être dérivée rapidement et dont la dérivée est très simple. Exemple : xDeriveˊe1x\xrightarrow[\text{Derivée}]{}1
  • v(x)v' (x)​: partie de la fonction à partir de laquelle on peut facilement former la primitive. Exemple : exInteˊgraleexe^x\xrightarrow[Intégrale]{}e^x ​​
2.
Calcule u(x)u'(x)​ et v(x)v(x)​.
3.
Assemble u(x)u(x)​, u(x)u'(x)​, v(x)v(x)​ et v(x)v'(x)​ selon la formule :
abu(x)×v(x)dx=[u(x)×v(x)]ababu(x)×v(x)dx∫_a^bu(x)×v' (x)dx=[u(x)×v(x)]_a^b-∫_a^bu'(x)×v(x)dx ​​
4.
Continue l’intégration.


Exemple 


01xexdx∫_0^1xe^x dx ​​


Choisis les fonctions u(x)u(x)​ et v(x)v'(x)​ : 


u(x)=xv(x)=exu(x)=x\\v'(x)=e^x ​​


On peut facilement dériver u(x)u(x)​ : 


u(x)=1u'(x)=1 ​​


On peut facilement intégrer v(x)v'(x) : 


v(x)=exv(x)=e^x ​​


Utilise la formule : 


=[xu×exv]10011u×exvdx=\bigg[\underbrace{x}_{u}\times\underbrace{e^x}_{v}\bigg]_1^0 -\int^1_0\underbrace{1}_{u'}\times \underbrace{e^x}_{v}dx​​


Continue l’intégration : 


=[xex]01[ex]01=1×e10×e0(e1e0)=e0(e1)=1=[xe^x ]_0^1-[e^x ]_0^1\\=1×e^1-0×e^0-(e^1-e^0 )=e-0-(e-1)=\underline{1} ​​


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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment utiliser l'intégration par parties pour les intégrales ?

Qu'est-ce que l'intégration par parties pour les intégrales ?

Comment déterminer l'intégrale de produits de fonctions ?

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