Quand est-ce que deux droites sont orthogonales ?

Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, mais les droites n'ont pas forcément de point commun.

Quand est-ce que deux droites sont perpendiculaires ?

Lorsque les vecteurs directeurs sont orthogonaux et que les droites ont un point commun.

Comment déterminer par le calcul la relation entre les droites ?

En résolvant un système d'équations de droite.

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Relations entre droites : système d'équations

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Relations entre droites : système d'équations

Relations entre deux droites

CONFONDUES	Les droites se superposent : Les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèle). Chaque point est situé sur les deux droites.
PARALLÈLES	Les droites sont parallèles ; elles ne se croisent pas : Les vecteurs directeurs sont colinéaires. Les points ne sont pas situés sur les deux droites.
SÉCANTES	Les droites se croisent au point d’intersection S : Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Les droites ont un point commun.
PERPENDICULAIRES	Les droites sont sécantes et se croisent à angle droit : Les vecteurs directeurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Les droites ont un point commun.
ORTHOGONALES	Les droites se croisent à angle droit : Les vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les droites n’ont pas forcément de point commun.
NON COPLANAIRES (seulement 3D)	Les droites ne se croisent pas et ne sont pas parallèles : Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Les droites n’ont pas de points communs.

Déterminer la relation

Avec un système d’équations

MÉTHODE

1.	Construis le système d’équations : place un signe égal entre les équations de droite pour chaque coordonnée.
2.	Résous le système d’équations :
	Résultat réel (par exemple $0=0$ ), tous les paramètres sont supprimés pendant le calcul :  Les droites sont confondues.
	Résultat univoque pour $s$ et $t$ :  Les droites sont sécantes. Point d’intersection : Évalue une des équations de droite aux paramètres $s$ et $t$ . Si en plus le produit scalaire entre les vecteurs directeurs est égal à $0$ , alors les droites sont perpendiculaires.
	Pas de résultat :  Les droites sont parallèles ou non coplanaires. Elles sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Sinon elles sont non coplanaires. Si en plus le produit scalaire entre les vecteurs directeurs est égal à $0$ , alors les droites sont orthogonales.

Conseil : Si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles), les droites le sont aussi. Si de plus elles partagent au moins un point en commun, elles sont confondues.

Exemple

Deux droites sont données sous forme paramétrique :

$\begin{cases}x=s+1\\y=2\\z=3\end{cases}$

$\begin{cases}x=3\\y=t+2\\z=t+1\end{cases}$

Les coordonnées du vecteur directeur sont les facteurs multipliant $s$  :

$\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

Les coordonnées du vecteur directeur sont les facteurs multipliant $t$  :

$\overrightarrow {u_2}=\begin{pmatrix}o\\1\\1\end{pmatrix}$

Système d’équations :

$s+1=3\\2=t+2\\3=t+1$ $\Rightarrow$ $s=2\\t=0\\t=2$ $\Rightarrow$ $0\neq2\rightarrow$ pas de solution

De plus, les vecteurs directeurs $\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}0\\1\\1\\\end{matrix}\right)$ sont orthogonaux : $\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}0\\1\\1\\\end{matrix}\right)=0$ .

Les droites sont non coplanaires et orthogonales

Relations entre droites : système d'équations

Relations entre deux droites

CONFONDUES	Les droites se superposent : Les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèle). Chaque point est situé sur les deux droites.
PARALLÈLES	Les droites sont parallèles ; elles ne se croisent pas : Les vecteurs directeurs sont colinéaires. Les points ne sont pas situés sur les deux droites.
SÉCANTES	Les droites se croisent au point d’intersection S : Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Les droites ont un point commun.
PERPENDICULAIRES	Les droites sont sécantes et se croisent à angle droit : Les vecteurs directeurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Les droites ont un point commun.
ORTHOGONALES	Les droites se croisent à angle droit : Les vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les droites n’ont pas forcément de point commun.
NON COPLANAIRES (seulement 3D)	Les droites ne se croisent pas et ne sont pas parallèles : Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Les droites n’ont pas de points communs.

Déterminer la relation

Avec un système d’équations

MÉTHODE

1.	Construis le système d’équations : place un signe égal entre les équations de droite pour chaque coordonnée.
2.	Résous le système d’équations :
	Résultat réel (par exemple $0=0$ ), tous les paramètres sont supprimés pendant le calcul :  Les droites sont confondues.
	Résultat univoque pour $s$ et $t$ :  Les droites sont sécantes. Point d’intersection : Évalue une des équations de droite aux paramètres $s$ et $t$ . Si en plus le produit scalaire entre les vecteurs directeurs est égal à $0$ , alors les droites sont perpendiculaires.
	Pas de résultat :  Les droites sont parallèles ou non coplanaires. Elles sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Sinon elles sont non coplanaires. Si en plus le produit scalaire entre les vecteurs directeurs est égal à $0$ , alors les droites sont orthogonales.

Conseil : Si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles), les droites le sont aussi. Si de plus elles partagent au moins un point en commun, elles sont confondues.

Exemple

Deux droites sont données sous forme paramétrique :

$\begin{cases}x=s+1\\y=2\\z=3\end{cases}$

$\begin{cases}x=3\\y=t+2\\z=t+1\end{cases}$

Les coordonnées du vecteur directeur sont les facteurs multipliant $s$  :

$\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

Les coordonnées du vecteur directeur sont les facteurs multipliant $t$  :

$\overrightarrow {u_2}=\begin{pmatrix}o\\1\\1\end{pmatrix}$

Système d’équations :

$s+1=3\\2=t+2\\3=t+1$ $\Rightarrow$ $s=2\\t=0\\t=2$ $\Rightarrow$ $0\neq2\rightarrow$ pas de solution

Les droites sont non coplanaires et orthogonales

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Relations entre droites

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Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Quand est-ce que deux droites sont orthogonales ?

Réponse : Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, mais les droites n'ont pas forcément de point commun.
Question : Quand est-ce que deux droites sont perpendiculaires ?

Réponse : Lorsque les vecteurs directeurs sont orthogonaux et que les droites ont un point commun.
Question : Comment déterminer par le calcul la relation entre les droites ?

Réponse : En résolvant un système d'équations de droite.

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PERPENDICULAIRES

ORTHOGONALES

NON COPLANAIRES

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