Probabilités conditionnelles : propriétés et indépendance

Définition

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle d’un événement aléatoire $$B$$​ est la probabilité qu’il se réalise sachant qu’un autre événement $$A$$​ se réalise. 

Exemples

Probabilité de tirer une reine, sachant qu’on tire un habillé :

$$P_{habillé}(reine)$$​​

Formules

La probabilité conditionnelle de $$B$$​ sachant $$A$$​ est donné par la formule suivante :

$$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$$​​

Le nombre de résultats possibles dans ce cas est modifié par la condition supplémentaire donnée par le deuxième événement.

Propriétés

Comme $$P\left(A\cap B\right)=P(B\cap A)$$​, on peut calculer $$P(A\cap B)$$​ des deux façons suivantes :

• $$P\left(A\cap B\right)=P_A(B)\times P(A)$$ (avec $$P(A)\neq0$$​) 
• $$P\left(A\cap B\right)=P_B(A)\times P(B)$$ (avec $$P\left(B\right)\neq0$$​)

Indépendance

Un événement $$B$$​ est indépendant d’un événement non nul $$A$$​ si :

$$P_A\left(B\right)=P(B)$$​​

Symétriquement, si $$B$$​ est indépendant de $$A$$​, alors $$A$$​ est également indépendant de $$B$$​ et $$P_B\left(A\right)=P(A)$$​.

Deux événements non nuls $$A$$​ et $$B$$​ indépendants vérifient donc l’équation :

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)\times P(B)$$​​

Calculer la probabilité conditionnelle

MÉTHODE 

Exemple 

Calcule la probabilité que Valentine tire une reine si elle pioche une carte dans un jeu de poker. 

Calcule ensuite la probabilité conditionnelle qu’elle tire une reine sachant qu’elle tire un habillé.

Pour finir, détermine si le fait de tirer une reine est dépendant ou non du fait de tirer un cœur.

Calcule $$P(Reine)$$​ :

• Nombre de reines : $$4$$
• Nombre total de cartes : $$52$$
• Calcule la fraction :

$$P\left(Reine\right)=\frac{4}{52}=\underline{\frac{1}{13}}\$$​​

Calcule $$P_{habillé}(reine)$$​ :

• Numérateur : nombres de cartes qui sont à la fois une reine et un habillé : $$4$$​
• Dénominateur : nombre d’habillés : $$12$$ ($$4$$ valets, $$4$$ reines, $$4$$​ rois)
• Calcule la fraction : 

​$$P_{habillé}(reine)=412=13$$​​

Indépendance :

• Probabilité de tirer une reine parmi les cartes de couleur cœur :

​$$P_{Coeur}\left(Reine\right)=\frac{nombre\ de\ reine\ de\ coeur}{nombre\ de\ cartes\ de\ coeur}=\frac{1}{13}=P\left(Reine\right)$$​​

• Tirer une reine est donc indépendant du fait de tirer un cœur.

Exemple 

Une maladie touche $$2\%$$​ de la population. Une boîte pharmaceutique développe un test de dépistage et obtient le tableau d’effectifs suivant :

Calcule la probabilité de ne pas être malade alors que le résultat de ce test est positif (la proportion de faux positifs) et la probabilité d’avoir un résultat positif alors qu’on est sain.

Probabilité de ne pas être malade sachant que ce test est positif :

$$P_{positif}\left(sain\right)=\frac{P(positif\cap s a i n)}{P(positif)}=\frac{490/10\ 000}{688/10\ 000}\approx0,71=\underline{71\%}$$​​

Probabilité que ce test soit positif sachant qu’on n’est pas malade :

$$P_{sain}\left(positif\right)=\frac{P(positif\cap s a i n)}{P(sain)}=\frac{490/10\ 000}{9800/10\ 000}=0,05=\underline{5\%}$$​​

Note : En général $$P_A\left(B\right)\neq P_B(A)$$