Calcul de l'aire entre des intégrales

Aire entre le graphe et l’axe des x 

Grâce à l’intégrale on peut calculer l’aire entre un graphe et l’axe des x sur un intervalle. 

• Si le graphe est au-dessus de l’axe des $$x$$​, la valeur de l’aire de l’intégrale est positive. 
• Si le graphe est en dessous de l’axe des $$x$$​, la valeur de l’aire de l’intégrale est négative. 

Note : L’intégrale donne la différence des surfaces au-dessus et en dessous de l’axe des $$x$$​. La surface fermée est déterminée à partir des valeurs absolues des différentes parties de la surface. 

Méthode 

Schéma :	Aire :
	​$$A=\underbrace{\int_0^af(x)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_a^bf(x)dx}_{A_2}\underbrace{+\int^c_bf(x)dx}_{A_3}$$​​
	ou
	​$$A=\underbrace{\Bigg|\int_0^af(x)dx\Bigg|}_{A_1}\underbrace{+\Bigg|\int_a^bf(x)dx\Bigg|}_{A_2}\underbrace{+\Bigg|\int^c_bf(x)dx\Bigg|}_{A_3}$$​​

Exemple

Calcule l’aire entre l’axe des $$x$$​ et le graphe de $$3x^2-3$$​ sur l’intervalle $$[0 ;3]$$​. 

Détermine les racines contenues dans l’intervalle : 

​$$3x^2-3=0 \\3x^2=3 \\x^2=1$$​

Racines : 

$$x_{r1}=1$$​ (Contenue dans l’intervalle), $$x_{r2}=-1$$ (non contenue dans l’intervalle) 

Écris l’intégrale à calculer : 

​$$A=\underbrace{\Bigg|\int_0^13x^2-3\quad dx\Bigg|}_{A_1}\underbrace{+\Bigg|\int_1^33x^2-3\quad dx\Bigg|}_{A_2}$$​​

Trouve une primitive : 

​$$F(x)=x^3-3x$$​​

Calcule $$A_1$$​ et $$A_2$$ : 

​$$A_1=|F(1)-F(0)|=|(1^3-3×1)-(0^3-3×0)|=|-2|=2\\A_2=|F(3)-F(1)|=|(3^3-3×3)-(1^3-3×1)|=|20|=20$$​​

Calcule l’aire : 

​$$A=2+20=\underline{22}$$​​

Aire entre deux graphes 

Souvent, on doit calculer l’aire entre deux graphes sur un intervalle.
Pour calculer l’aire on doit former l’intégrale de la différence des fonctions. 

​$$A=∫_a^b(f(x)-g(x))dx$$​​

• Si $$f(x)$$​ est au-dessus de $$g(x)$$​, la valeur de l’aire de l’intégrale est positive. 
• Si $$f(x)$$​ est en dessous de $$g(x)$$​, la valeur de l’aire de l’intégrale est négative. 

Méthode 

Schéma :	Aire :
	​$$A=\underbrace{\int_a^b(f(x)-g(x))dx}_{A_1}\underbrace{-\int_b^c(f(x)-g(x))dx}_{A_2}$$​​
	ou
	​$$A=\underbrace{\bigg|\int_a^b(f(x)-g(x))dx\bigg|}_{A_1}\underbrace{+\bigg|\int_b^c(f(x)-g(x))dx\bigg|}_{A_2}$$​​

Exemple 

Calcule l’aire entre le graphe de $$3x^2$$​ et le graphe de $$6x$$​ sur l’intervalle $$[1 ;3]$$​. 

Détermine les points d’intersection contenus dans l’intervalle : 

​$$3x^2=6x\\ 3x^2-6x=0\\ x(3x-6)=0$$​​

Points d’intersections : 

$$x_{I1}=0$$ (non contenu dans l’intervalle), $$x_{I2}=2$$ (contenu dans l’intervalle) 

Écris l’intégrale à calculer : 

​$$A=\underbrace{\bigg|\int_1^23x^2-6x\quad dx\bigg|}_{A_1}\underbrace{+\bigg|\int_2^33x^2-6x\quad dx\bigg|}_{A_2}$$​​

Trouve une primitive : 

​$$x^3-3x^2$$​​

Calcule $$A_1$$​ et $$A_2$$ : 

​$$A_1=|F(2)-F(1)|=|(2^3-3×2^2)-(1^3-3×1^2)|=|-2|=2\\A_2=|F(3)-F(2)|=|(3^3-3×3^2)-(2^3-3×2^2)|=|4|=4$$​​

Calcule l’aire : 

​$$A=2+4=\underline{6}$$​​