Limites de suites : opérations et théorèmes

Limite 

Définition 

La limite est la valeur dont les termes s’approchent lorsqu’on laisse l’index $$n$$​ tendre vers l’infini. 

Limites Possibles 

En cas de convergence :
la limite est un nombre fini $$l$$​.
En cas de divergence :
​la limite est infinie ($$\infty$$​ ou $$-\infty$$​);  ​la limite n’a pas de valeur définie.​

Calculer la limite 

Pour les suites explicites : 

MÉthode 

Exemple 

Limite de $$a_n=\frac{8n^2+4}{12n^2}$$​

Prends la limite : 

​$$g=\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{8n^2+4}{12n^2}=\frac{8\infty^2+4}{12\infty^2}\approx\frac{\infty}{\infty}$$​​

Transforme l’expression : 

​$$\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{8n^2+4}{12n^2}=\lim\limits_{n\rarr\infty}\underbrace{\frac{n^2(8+\frac{4}{n^2})}{12n^2}}_{\text{mettre }n^2\text{ en facteur et réduire}}=\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{8+\frac{4}{n^2}}{12}=\frac{8+\frac{4}{\infty^2}}{12}\approx\frac{8+0}{12}=\frac{8}{12}=\frac23$$​​

Opérations sur les limites 

Les limites respectent les règles suivantes : 

Théorèmes 

Théorème de comparaison 

Pour prouver qu’une suite ($$u_n$$​) diverge vers $$+\infty$$​, tu peux utiliser une suite ($$a_n$$​) dont tu sais déjà qu’elle diverge vers $$+\infty$$​. Si à partir d’un certain point, $$a_n\le u_n$$​ pour tous les $$n$$​, alors ($$u_n$$​) diverge également vers $$+\infty$$​. 

De manière équivalente, tu peux prouver qu’une suite ($$u_n$$​) diverge vers $$-\infty$$​ en utilisant une suite ($$a_n$$​) dont tu sais déjà qu’elle diverge vers $$-\infty$$​. Si à partir d’un certain point, $$a_n\ge u_n$$​ pour tous les $$n$$​, alors ($$u_n$$​) diverge également vers $$-\infty$$​. 

Exemple 

Détermine la limite de $$u_n=n+(-1)^n$$​. 

Comme $$n-1\le n+(-1)^n$$​ pour tout $$n\ge0$$​, et comme $$\lim\limits_{n\rarr\infty}(n-1)=\infty$$​, le théorème de comparaison implique que $$\lim\limits_{n\rarr\infty}(n+(-1)^n)=\infty$$​. 

Théorème d’encadrement 

Pour prouver qu’une suite ($$u_n$$​) converge vers l, tu peux utiliser une suite ($$a_n$$​) et une suite ($$b_n$$​) dont tu sais déjà qu’elles convergent vers $$l$$​. Si à partir d’un certain point, $$a_n\le u_n\le b_n$$​ pour tous les $$n$$​, alors ($$u_n$$​) converge également vers $$l$$​. 

Note 3 : Le théorème d’encadrement est aussi appelé « Théorème des gendarmes ». 

Exemple 

Détermine la limite de $$u_n=\frac{(-1)^n}{n}$$​. 

Comme $$-\frac1n\le\frac{(-1)^n}{n}\le\frac1n$$​ pour tout $$n$$​, et comme  $$\lim\limits_{n\rarr\infty}-\frac1n=\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac1n=0$$​, le théorème d’encadrement implique que $$\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$$​.