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Limites de suites : opérations et théorèmes

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Enseignant: Clémence

Résumés

Limites de suites : opérations et théorèmes

Limite

Définition

La limite est la valeur dont les termes s’approchent lorsqu’on laisse l’index $n$ tendre vers l’infini.

Limites Possibles

En cas de convergence :
la limite est un nombre fini $l$ .
En cas de divergence :
la limite est infinie ( $\infty$ ou $-\infty$ ); la limite n’a pas de valeur définie.

Calculer la limite

Pour les suites explicites :

MÉthode

1.	Prends la limite en utilisant la définition de la suite : $l=\lim\limits_{n\rarr \infty}u_n$
2.	Calcule la valeur de $u_n$ pour $n\rarr\infty$ : Remplace $n$ par $\infty$ et calcule avec $\infty$ . Note 1 : Si tu obtiens $\frac{\infty}{\infty'}$ , 0/0 ou $\infty×0$ , il faut transformer l’expression. Note 2 : C’est souvent utile de mettre $n$ en évidence pour les fractions.

Exemple

Limite de $a_n=\frac{8n^2+4}{12n^2}$ 

Prends la limite :

$g=\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{8n^2+4}{12n^2}=\frac{8\infty^2+4}{12\infty^2}\approx\frac{\infty}{\infty}$

Transforme l’expression :

$\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{8n^2+4}{12n^2}=\lim\limits_{n\rarr\infty}\underbrace{\frac{n^2(8+\frac{4}{n^2})}{12n^2}}_{\text{mettre }n^2\text{ en facteur et réduire}}=\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{8+\frac{4}{n^2}}{12}=\frac{8+\frac{4}{\infty^2}}{12}\approx\frac{8+0}{12}=\frac{8}{12}=\frac23$

Opérations sur les limites

Les limites respectent les règles suivantes :

Addition / Soustraction de suites	$\lim\limits_{n\rarr\infty}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\rarr\infty}a_n\pm\lim\limits_{n\rarr\infty}b_n=l_a\pm l_b$
Multiplication de suites	$\lim\limits_{n\rarr\infty}(a_n\times b_n)=\lim\limits_{n\rarr\infty}a_n\times\lim\limits_{n\rarr\infty}b_n=l_a\times l_b$
Division de suites	$\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\rarr\infty}a_n}{\lim\limits_{n\rarr\infty}b_n}=\frac{l_a}{l_b}$

Théorèmes

Théorème de comparaison

Pour prouver qu’une suite ( $u_n$ ) diverge vers $+\infty$ , tu peux utiliser une suite ( $a_n$ ) dont tu sais déjà qu’elle diverge vers $+\infty$ . Si à partir d’un certain point, $a_n\le u_n$ pour tous les $n$ , alors ( $u_n$ ) diverge également vers $+\infty$ .

De manière équivalente, tu peux prouver qu’une suite ( $u_n$ ) diverge vers $-\infty$ en utilisant une suite ( $a_n$ ) dont tu sais déjà qu’elle diverge vers $-\infty$ . Si à partir d’un certain point, $a_n\ge u_n$ pour tous les $n$ , alors ( $u_n$ ) diverge également vers $-\infty$ .

Exemple

Détermine la limite de $u_n=n+(-1)^n$ .

Comme $n-1\le n+(-1)^n$  pour tout $n\ge0$ , et comme $\lim\limits_{n\rarr\infty}(n-1)=\infty$ , le théorème de comparaison implique que $\lim\limits_{n\rarr\infty}(n+(-1)^n)=\infty$ .

Théorème d’encadrement

Pour prouver qu’une suite ( $u_n$ ) converge vers l, tu peux utiliser une suite ( $a_n$ ) et une suite ( $b_n$ ) dont tu sais déjà qu’elles convergent vers $l$ . Si à partir d’un certain point, $a_n\le u_n\le b_n$ pour tous les $n$ , alors ( $u_n$ ) converge également vers $l$ .

Note 3 : Le théorème d’encadrement est aussi appelé « Théorème des gendarmes ».

Exemple

Détermine la limite de $u_n=\frac{(-1)^n}{n}$ .

Comme $-\frac1n\le\frac{(-1)^n}{n}\le\frac1n$ pour tout $n$ , et comme $\lim\limits_{n\rarr\infty}-\frac1n=\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac1n=0$ , le théorème d’encadrement implique que $\lim\limits_{n\rarr\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$ .

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Limites de suites : définition et méthode

Test Avancé

Optionnel

Unité 2