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Relations entre droites et plans

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Enseignant: Clémence

Résumés

Relations entre droites et plans

Relations entre un plan et une droite

PARALLÈLE

La droite est parallèle au plan :

  • Le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan sont orthogonaux (perpendiculaires).
  • Les points de la droite ne font pas partie du plan.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations entre droites et plans

DROITE INCLUSE

La droite fait partie du plan :

  • Le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan sont orthogonaux.
  • Les points de la droite font partie du plan.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations entre droites et plans

DROITE SÉCANTE

La droite et le plan se croisent au point d’intersection SS​ :

  • Le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal ne sont pas orthogonaux.
  • La droite et le plan ont exactement un point commun.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations entre droites et plans

DROITE PERPENDICULAIRE

La droite et le plan se croisent au point d’intersection SS​ :

Le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal sont colinéaires (parallèles).

La droite et le plan ont exactement un point commun.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations entre droites et plans


Angle entre une droite et un plan

L’angle entre une droite et un plan est égal à 90°90°​ moins l’angle entre un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan. Tu peux utiliser le sinus pour gagner du temps :

​sin⁡(α)=cos(90°−α)=∣u→⋅n→∣∥u→∥×∥n→∥\sin{(\alpha)}=cos(90°-α)=\frac{\lvert \overrightarrow u\cdot \overrightarrow n\rvert}{\lVert\overrightarrow u\rVert× \lVert\overrightarrow n\rVert}​​
​α=sin−1(∣u→⋅n→∣∥u→∥×∥n→∥)\alpha=sin^{-1}( \frac{\lvert\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n\rvert}{\lVert \overrightarrow u\rVert×\lVert\overrightarrow n\rVert})​​



Déterminer la relation

Méthode

1.

Calcul le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan :

u→⋅n→\overrightarrow u\cdot \overrightarrow n​​

Si égal à 00​ : la droite est parallèle ou incluse dans le plan :

2a.

Choisis un point sur la droite et regarde s’il vérifie l’équation du plan.

Si oui, alors la droite est incluse dans le plan.

Si non, alors la droite est parallèle au plan.

Si non égal à 00​ : la droite coupe le plan :

2b.

Regarde si le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan :

u→=kn→\overrightarrow u = k \overrightarrow n ​​

Si oui, alors la droite est perpendiculaire au plan.

Si non, alors la droite n’est que sécante au plan.

3b.

Détermine le point d’intersection SS​ :

Construis un système d’équation pour déterminer quel point satisfait à la fois l’équation de la droite et celle du plan.


Exemple

Déterminer la relation entre la droite et le plan suivants :

{x=t+2y=−3z=2t\begin{cases}x=t+2\\y=-3\\z=2t\end{cases}​​

Les coordonnées du vecteur directeur sont les facteurs multipliant tt​ :

u→=(102)\overrightarrow u =\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}​​

0x+3y+3z−3=00x+3y+3z-3=0​​

Les coordonnées du vecteur normal sont les facteurs multipliant x, y x,\ y\  et zz​ :

n→=(033)\overrightarrow n = \begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}​​

Calcule le produit scalaire :

u→⋅n→=1×0+0×3+2×3=6≠0\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n = 1\times0+0\times3+2\times3=6\neq0​                ⇒\Rightarrow​  La droite coupe le plan.

Vérifie la colinéarité :

Il n’existe pas de kk​ tel que u→=kn→\overrightarrow u = k\overrightarrow n​.

⇒\Rightarrow​ La droite est sécante au plan.

Détermine le point d’intersection :

Place dans l’équation du plan les équations des coordonnées de la droite :

0×(t+2)+3×(−3)+3×(2t)−3=00\times(t+2)+3\times(-3)+3\times(2t)-3=0​​

Trouve le paramètre tt​ :

t=2t=2​​


Remplace  par sa valeur dans la représentation de la droite :

{x=2+2=4y=−3z=2×2=4\begin{cases}x=2+2=4\\y=-3\\z=2\times2=4\end{cases}​​


Le point d’intersection est :

S=(4,−3,4)‾\underline {S=(4,-3,4)}​​



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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quand peut-on dire qu'une droite et un plan sont sécants ?

Qu'est-ce qu'une droite incluse au plan ?

Quand est-ce qu'une droite est parallèle au plan ?

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