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Échantillonnage : fluctuation et intervalle

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Enseignant: Elisa

Résumés

Échantillonnage : fluctuation et intervalle

Définition                                                                                                   

Échantillonner, c’est étudier un fragment aléatoire, appelé échantillon, d’une population afin d’avoir une estimation des caractéristiques de la population totale. On définit les variables suivantes :


NOM

SYMBOLE

SIGNIFICATION

Proportion

pp​​

Proportion de la caractéristique étudiée au sein de la population totale

Fréquence

ff​​

Fréquence à laquelle la caractéristique étudiée apparaît dans l’échantillon considéré

Taille

nn​​

Nombre d’individus dans l’échantillon considéré



Loi des grands nombres

Plus nn est grand, plus la fréquence ff observée dans l’échantillon est proche de la véritable proportion pp qui existe au sein de la population totale.


Exemple

Un institut de sondage souhaite savoir la proportion pp de supporters du PSG parmi tous les supporters présents dans le stade un soir de match. Pour cela, ils se placent à la sortie du stade et interrogent le plus de supporters possibles. La loi des grands nombres dit que plus ils réussiront à interroger de supporters (plus nn sera grand) plus la fréquence ff observée sur l’échantillon sera fidèle à la réelle proportion pp de supporters du PSG présent dans le stade ce soir-là.



Fluctuation d’échantillonnage

Suivant quel échantillon est pris aléatoirement, la fréquence ff d’apparition de la caractéristique étudiée peut varier. On appelle ce principe la « fluctuation d’échantillonnage ».

Plus la taille nn de l’échantillon est grande, plus cette fluctuation des résultats est faible.


Exemple

On s’intéresse à la proportion d’élèves positifs au COVID-19 dans une école. Sachant qu’une des classes a fait une fête la semaine dernière, le taux de contamination dans cette classe sera donc particulièrement élevé comparé aux autres classes. Il y aura une forte fluctuation d’échantillonnage entre cette classe et les autres.



Intervalle de fluctuation

On étudie un échantillon de taille nn d’une expérience aléatoire à deux issues. Il est très probable que la fréquence de l’échantillon ff se trouve dans l’intervalle suivant, qu’on appelle intervalle de fluctuation :

I.F.=[p1n;p+1n]I.F.=\left[p-\frac{1}{\sqrt n};p+\frac{1}{\sqrt n}\right]​​


Cela permet de comparer la fréquence étudiée dans l’échantillon (ff) avec la véritable proportion de la population (pp).

Mathématiques; Probabilités; 2de générale; Échantillonnage : fluctuation et intervalle


Exemple

Sur la population des 300 meilleurs joueurs de tennis on sait que 115 sont gauchers. On cherche l’intervalle de fluctuation pour des échantillons de 15 joueurs.


Déterminer nn :

n=15n=15​​


Calculer la proportion de gauchers :

p=115300p=\frac{115}{300}​​


Calculer l’intervalle de fluctuation avec [p1n;p+1n]\left[p-\frac{1}{\sqrt n};p+\frac{1}{\sqrt n}\right] :

I.F.=[115300115;115300+115]=[0,13;0,64]I.F.=\left[\frac{115}{300}-\frac{1}{\sqrt{15}};\frac{115}{300}+\frac{1}{\sqrt{15}}\right]=\left[0,13;0,64\right]​​


La majorité des échantillons de 15 joueurs sélectionnés au hasard contiendront donc entre 13% et 64% de gauchers.


Note : Dans cet exemple,  est très petit comparé à la population totale, la fluctuation d’échantillonnage sera donc très grande, ce qui explique cet intervalle de fluctuation très large.



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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que la fluctuation d'échantillonnage ?

Comment expliquer la loi des grands nombres ?

Quel est le but de l'échantillonnage ?

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