Indépendance linéaire : trois vecteurs
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Indépendance linéaire : trois vecteurs
Définition
Les vecteurs d’une famille de vecteurs sont appelés linéairement dépendants si au moins un vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire des autres vecteurs. Sinon, ils sont appelés linéairement indépendants.
Deux vecteurs
LINÉAIREMENT DÉPENDANTS | LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS | |
| Les vecteurs sont parallèles. | Les vecteurs ne sont pas parallèles. | |
| L’équation a une solution pour le facteur : | L’équation n’a pas de solution pour le facteur : n’a pas de solution | |
 | |  |
| Les vecteurs sont dits « colinéaires ». | | |
Trois vecteurs
LINÉAIREMENT DÉPENDANTS | LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS |
| Les vecteurs sont dans un même plan. | Les vecteurs ne sont pas dans un même plan. |
| L’équation : a une solution où les coefficients ne sont pas tous nuls. | L’équation : a pour seule solution : |
 |  |
| Les vecteurs sont dits « coplanaires ». | |
Vecteur nul
Une famille de vecteurs qui contient le vecteur nul est toujours linéairement dépendante.
Note :
En 2 dimensions, une famille d’au moins trois vecteurs est toujours linéairement dépendante.
En 3 dimensions, une famille d’au moins quatre vecteurs est toujours linéairement dépendante.
Exemples
Vérifier l’indépendance linéaire de trois vecteurs :
Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment montrer que trois vecteurs sont linéairement dépendants ?
L’équation : 0=ra+sb+tc a une solution où les coefficients ne sont pas tous nuls.
Le vecteur nul est-il linéairement dépendant ?
Oui. Une famille de vecteurs qui contient le vecteur nul est toujours linéairement dépendante.
Qu'est-ce que des vecteurs dépendants ?
Les vecteurs d’une famille de vecteurs sont linéairement dépendants si au moins un vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire des autres vecteurs.