Indépendance linéaire : trois vecteurs

Définition

Les vecteurs d’une famille de vecteurs sont appelés linéairement dépendants si au moins un vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire des autres vecteurs. Sinon, ils sont appelés linéairement indépendants.

Deux vecteurs

LINÉAIREMENT DÉPENDANTS		LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS
Les vecteurs sont parallèles.		Les vecteurs ne sont pas parallèles.
L’équation a une solution pour le facteur $k\neq0$ : $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$		L’équation n’a pas de solution pour le facteur $k\neq0$ : $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$ n’a pas de solution
	$\overrightarrow a=-2\overrightarrow b$
Les vecteurs sont dits « colinéaires ».

Trois vecteurs

LINÉAIREMENT DÉPENDANTS	LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS
Les vecteurs sont dans un même plan.	Les vecteurs ne sont pas dans un même plan.
L’équation : $\overrightarrow 0 = r\overrightarrow a+s\overrightarrow b + t\overrightarrow c$ a une solution où les coefficients ne sont pas tous nuls.	L’équation : $\overrightarrow o=r\overrightarrow a+s\overrightarrow b+ t\overrightarrow c$ a pour seule solution : $r=s=t=0$

Les vecteurs sont dits « coplanaires ».

Vecteur nul

Une famille de vecteurs qui contient le vecteur nul est toujours linéairement dépendante.

Note :

En 2 dimensions, une famille d’au moins trois vecteurs est toujours linéairement dépendante.

En 3 dimensions, une famille d’au moins quatre vecteurs est toujours linéairement dépendante.

Exemples

Vérifier l’indépendance linéaire de trois vecteurs :

Mathématiques; Vecteurs; Tle générale; Indépendance linéaire : trois vecteurs