Équation de droite : représentation paramétrique

Représentation paramétrique

Soit un point sur la droite, et $\overrightarrow u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix}$ un vecteur parallèle à la droite.

Un point $(x;y;z)$ est sur la droite, si et seulement s’il existe un $k$ , tel que :

\begin{cases}x=ku_x+a_x\\y=ku_y+a_y\\z=ku_z+a_z\end{cases}

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On appelle $\overrightarrow u$ un vecteur directeur et $k$ un paramètre.

Exemple

Un point $A\left(2;3;1\right)$ et un vecteur directeur $\overrightarrow u = \begin{pmatrix} 1\\3\\-2\end{pmatrix}$  sont donnés.

Représentation paramétrique de la droite : $\begin{cases}x=k+2\\y=3k+3\\z=-2k+1\end{cases}$ 

Signification

En variant le paramètre $k$ , on peut décrire n’importe quel point sur la droite.

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Note : On peut ici avoir une infinité de représentations différentes pour la même droite.

Chaque vecteur parallèle à la droite peut être vecteur directeur $\overrightarrow u$ .

On peut alors raccourcir (ou allonger) les vecteurs directeurs d’un facteur quelconque. On essaie souvent d’obtenir des petites valeurs entières en multipliant toutes les composantes par le même facteur.

Droites en 2 dimensions

Une droite dans le plan peut être représentée de plusieurs façons :

Forme cartésienne	$ux+vy+w=0$	où $\left(\begin{matrix}-v\\u\\\end{matrix}\right)$ est un vecteur directeur (parallèle) et $\left(\begin{matrix}u\\v\\\end{matrix}\right)$ est un vecteur normal (perpendiculaire) à la droite.
Forme réduite	$y=ax+b$	où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.
Forme paramétrique	$\begin{cases}x=ku_x+a_x\\y=ku_y+a_y\end{cases}$	où $\overrightarrow u= \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, $A=(a_x;a_y)$ un point sur la droite et $k$ un nombre réel.

Droites en 3 dimensions

Une droite dans l’espace se représente uniquement de façon paramétrique :

Forme paramétrique

\begin{cases}x=ku_x+a_x\\y=ku_y+a_y\\z=ku_z+a_z \end{cases}

où $\overrightarrow u= \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, $A=(a_x;a_y;a_z)$ un point sur la droite et $k$ un nombre réel.

Écrire l’équation d’une droite

À partir de deux points (en 3D)

Deux points quelconques $A=(a_x;a_y;a_z)$ et $B=(b_x;b_y;b_z)$ sur la droite sont donnés.

MÉTHODE

1.

Calculer le vecteur qui relie $A$ et $B.$

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}$

2.

Ecrire la représentation paramétrique à l’aide d’un des points et du vecteur directeur $\overrightarrow u =\overrightarrow{AB}$ .

Exemple

Trouver la représentation paramétrique de la droite passant par les points $A(2;4;1)$ et $\ B(3;2;2)$ .

Vecteur qui relie $A$ et $B$ :

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-2\\2-4\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ 

Représentation paramétrique de la droite avec $\overrightarrow u= \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $A=(2;4;1)\$ :

$\begin{cases}x=k+2\\y=-2k+4\\z=k+1\end{cases}$ 

À partir d’un vecteur normal et d’un point (en 2D)

Un point $A=(a_x;a_y)$ et un vecteur normal $\overrightarrow n$ sont donnés.

MÉTHODE

1.

Insère les coordonnées du point $A$ dans la forme cartésienne de la droite :

$u\times a_x+v\times a_y+w=0$

2.

Remplace les coefficients $u$ et $v$ de l’équation cartésienne avec celles données par le vecteur normal $\overrightarrow n= \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$ , puis isole $w$ .

Exemple

Un point $A(4;-1)$ et un vecteur normal $\overrightarrow n= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ sont donnés. Trouve l’équation cartésienne de la droite.

Le point $A$ satisfait l’équation cartésienne de la droite :

$g:\ \ \ ux+vy+w=0\\\ 4u-v+w=0$ 

Tu sais que $\overrightarrow n= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal, tu peux donc déduire :

$u=1,\ v=2$ 

Remplace-les dans l’équation cartésienne et déduis la valeur de $w$ :

$\ 4-2=-w\\w=-2$ 

L’expression de la droite est :

$\underline{x+2y-2=0}$ 