Équation de droite : représentation paramétrique

Représentation paramétrique

Soit  un point sur la droite, et $$\overrightarrow u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix}$$​ un vecteur parallèle à la droite.

Un point $$(x;y;z)$$​ est sur la droite, si et seulement s’il existe un $$k$$​, tel que :

​$$\begin{cases}x=ku_x+a_x\\y=ku_y+a_y\\z=ku_z+a_z\end{cases}$$​​

On appelle $$\overrightarrow u$$​ un vecteur directeur et $$k$$​ un paramètre.

Exemple

Un point $$A\left(2;3;1\right)$$​ et un vecteur directeur  $$\overrightarrow u = \begin{pmatrix} 1\\3\\-2\end{pmatrix}$$​ sont donnés.

Représentation paramétrique de la droite : $$\begin{cases}x=k+2\\y=3k+3\\z=-2k+1\end{cases}$$​

Signification

En variant le paramètre $$k$$​, on peut décrire n’importe quel point sur la droite.

Note : On peut ici avoir une infinité de représentations différentes pour la même droite.

Chaque vecteur parallèle à la droite peut être vecteur directeur $$\overrightarrow u$$​.

On peut alors raccourcir (ou allonger) les vecteurs directeurs d’un facteur quelconque. On essaie souvent d’obtenir des petites valeurs entières en multipliant toutes les composantes par le même facteur. 

Droites en 2 dimensions

Une droite dans le plan peut être représentée de plusieurs façons :

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Droites en 3 dimensions

Une droite dans l’espace se représente uniquement de façon paramétrique :

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Écrire l’équation d’une droite

À partir de deux points (en 3D)

Deux points quelconques $$A=(a_x;a_y;a_z)$$​ et $$B=(b_x;b_y;b_z)$$​ sur la droite sont donnés.

MÉTHODE

Exemple

Trouver la représentation paramétrique de la droite passant par les points $$A(2;4;1)$$​ et $$\ B(3;2;2)$$​.

Vecteur qui relie $$A$$​ et $$B$$​ :

$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-2\\2-4\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$​​

Représentation paramétrique de la droite avec $$\overrightarrow u= \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$​ et $$A=(2;4;1)\$$​ :

$$\begin{cases}x=k+2\\y=-2k+4\\z=k+1\end{cases}$$​​

À partir d’un vecteur normal et d’un point (en 2D)

Un point $$A=(a_x;a_y)$$​ et un vecteur normal $$\overrightarrow n$$​ sont donnés.

MÉTHODE

Exemple

Un point $$A(4;-1)$$​ et un vecteur normal $$\overrightarrow n= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$​ sont donnés. Trouve l’équation cartésienne de la droite.

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