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Loi des grands nombres

Intuitivement, la loi des grands nombres énonce que plus une expérience est souvent répétée, plus la moyenne des valeurs obtenues devrait s’approcher de l’espérance μ\mu​.


Pour l’exprimer mathématiquement, on prend une suite de variables aléatoires XnX_n​ deux-à-deux indépendantes, suivant la même loi et d’espérance μ\mu​. On note MnM_n​ la moyenne des nn​ premiers résultats, autrement dit Mn=X1+X2+…+XnnM_n=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}​. La loi des grands nombres énonce que pour tout nombre réel δ>0\delta>0​ :

lim⁡n→∞P(∣Mn−μ∣≥δ)=0\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{P(\left|M_n-\mu\right|\geq\delta)}=0​​

Note : On appelle parfois MnM_n moyenne empirique. C’est grâce à la loi des grands nombres qu’on peut interpréter l’espérance d’une variable aléatoire comme la valeur moyenne obtenue.


Exemple 

Imagine que tu demandes à des inconnus dans la rue de te donner un nombre aléatoire entre 00 et 1010. L’espérance de cette expérience est μ=5\mu=5​.

Voici un exemple des résultats que tu pourrais obtenir :


Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi des grands nombres


Selon la loi des grands nombres, plus l’expérience est répétée, plus la probabilité que la différence entre MnM_n et l’espérance μ=5\mu=5 soit supérieure à 00 devient petite. Autrement dit, plus nn augmente, plus la moyenne MnM_n​ se rapproche de 5.



Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi des grands nombres



Foire aux questions (FAQ)

FAQs

  • Question : Comment exprimer mathématiquement la loi des grands nombres ?

    Réponse : Il faut prendre une suite de variables aléatoires X deux-à-deux indépendantes, suivant la même loi et d’espérance ''mu''.

  • Question : A quoi sert la loi des grands nombres ?

    Réponse : Elle permet d'interpréter l’espérance d’une variable aléatoire comme la valeur moyenne obtenue.

  • Question : Qu'est-ce que la loi des grands nombres ?

    Réponse : La loi des grands nombres énonce que plus une expérience est répétée souvent, plus la moyenne des valeurs obtenues devrait s’approcher de l’espérance en question.

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