Relations et angles entre plans Relations entre plans Relation entre deux plans CONFONDUS Les plans sont superposés :
Les vecteurs normaux sont colinéaires (parallèles).
Les deux plans partagent les mêmes points. PARALLÈLES Les plans sont parallèles ; ils ne se croisent pas :
Les vecteurs normaux sont colinéaires.
Aucun point n’est partagé par les deux plans. SÉCANTS Les plans se croisent en une ligne d’intersection :
Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
Les deux plans partagent certains points. PERPENDICULAIRES Les plans se croisent en une ligne d’intersection :
Les vecteurs normaux sont orthogonaux (perpendiculaires).
Les deux plans partagent certains points.
Angle entre deux plans Plans :
E : a E x + b E y + c E z + d E = 0 , n E → = ( a E b E c E ) E:\ a_Ex+b_Ey+c_Ez+d_E=0,\ \ \ \overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}a_E\\b_E\\c_E \end{pmatrix} E : a E x + b E y + c E z + d E = 0 , n E = a E b E c E
F : a F x + b F y + c F z + d F = 0 , n F → = ( a F b F c F ) F:\ a_Fx+b_Fy+c_Fz+d_F=0,\ \ \ \overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}a_F\\b_F\\c_F \end{pmatrix} F : a F x + b F y + c F z + d F = 0 , n F = a F b F c F
cos ( α ) = ∣ n E → ⋅ n F → ∣ ∥ n E → ∥ × ∥ n F → ∥ \cos{(\alpha)}=\frac{\lvert \overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow{n_F}\rvert}{\lVert\overrightarrow{n_E}\rVert×\lVert\overrightarrow{n_F}\rVert} cos ( α ) = ∥ n E ∥ × ∥ n F ∥ ∣ n E ⋅ n F ∣
α = c o s − 1 ( ∣ n E → ⋅ n F → ∣ ∥ n E → ∥ × ∥ n F → ∥ ) \alpha=cos^{-1} (\frac{\lvert\overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow{n_F}\rvert}{\lVert\overrightarrow{n_E}\lVert×\rVert\overrightarrow{n_F}\rVert} ) α = co s − 1 ( ∥ n E ∥ × ∥ n F ∥ ∣ n E ⋅ n F ∣ )
Déterminer la relation entre deux plans Méthode 1.
Compare les deux vecteurs normaux pour la colinéarité.
n E → = k n F → \overrightarrow{n_E}=k\overrightarrow{n_F} n E = k n F
Si colinéaires : les plans sont confondus ou parallèles :
2a.
Évalue l’équation d’un des plans à l’un des points de l’autre.
Si l’équation est satisfaite, les plans sont parallèles et confondus .
Si l’équation n’est pas satisfaite, les plans sont seulement parallèles et non confondus .
Si non colinéaires : les plans se croisent sur une ligne d’intersection :
2b.
Détermine la ligne d’intersection s s s :
Trouve deux points satisfaisant les deux équations de plan.
Construis la droite passant par ces deux points en prenant comme vecteur directeur le vecteur allant d’un point à l’autre.
Exemple Déterminer la relation entre les plans E ∶ 2 x − y + z = 1 E∶\ \ \ 2x-y+z=1 E ∶ 2 x − y + z = 1 et F ∶ x + y − 2 z = − 1 F∶\ \ \ x+y-2z=-1 F ∶ x + y − 2 z = − 1 .
Vecteurs normaux :
n E → = ( 2 − 1 1 ) \overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} n E = 2 − 1 1 et n F → = ( 1 1 − 2 ) \overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} n F = 1 1 − 2
Vérifie la colinéarité :
( 2 − 1 1 ) ≠ k ( 1 1 − 2 ) \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\neq k \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} 2 − 1 1 = k 1 1 − 2 non colinéaires
Trouve deux points sur les deux plans :
Choisis x = 0 x=0 x = 0 :
Évalue l’équation des plans en x = 0 x=0 x = 0 :
E ∶ − y + z = 1 E∶\ \ \ -y+z=1 E ∶ − y + z = 1
F ∶ y − 2 z = − 1 F∶\ \ \ y-2z=-1 F ∶ y − 2 z = − 1
Coordonnées qui satisfont les deux équations : y = − 1 y=-1 y = − 1 , z = 0 z=0 z = 0
→ point A = ( 0 ; − 1 ; 0 ) A=(0;-1;0) A = ( 0 ; − 1 ; 0 )
Choisis x = 1 x=1\ x = 1 :
Évalue l’équation des plans x = 1 x=1 x = 1 :
E ∶ 2 − y + z = 1 E∶\ \ \ 2-y+z=1 E ∶ 2 − y + z = 1
F ∶ 1 + y − 2 z = − 1 F∶\ \ \ 1+y-2z=-1 F ∶ 1 + y − 2 z = − 1
Coordonnées qui satisfont les deux équations : y = 4 y=4 y = 4 , z = 3 z=3 z = 3
→ point B = ( 1 ; 4 ; 3 ) B=(1;4;3) B = ( 1 ; 4 ; 3 )
Vecteur directeur :
A B → = ( 1 5 3 ) \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\5\\3 \end{pmatrix} A B = 1 5 3
Droite s s s passant par les points A A A et B B B :
{ x = 0 + t y = − 1 + 5 t z = 0 + 3 t \begin{cases}x=0+t\\ y=-1+5t\\ z=0+3t\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 + t y = − 1 + 5 t z = 0 + 3 t