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Enseignant: Clémence
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Résumés

Relations et angles entre plans

Relations entre plans

Relation entre deux plans

CONFONDUS

Les plans sont superposés :

  • Les vecteurs normaux sont colinéaires (parallèles).
  • Les deux plans partagent les mêmes points.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations et angles entre plans

PARALLÈLES

Les plans sont parallèles ; ils ne se croisent pas :

  • Les vecteurs normaux sont colinéaires.
  • Aucun point n’est partagé par les deux plans.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations et angles entre plans

SÉCANTS

Les plans se croisent en une ligne d’intersection :

  • Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
  • Les deux plans partagent certains points.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations et angles entre plans

PERPENDICULAIRES

Les plans se croisent en une ligne d’intersection :

  • Les vecteurs normaux sont orthogonaux (perpendiculaires).
  • Les deux plans partagent certains points.
Mathématiques; Plans; Tle générale; Relations et angles entre plans



Angle entre deux plans

Plans :

E: aEx+bEy+cEz+dE=0,   nE→=(aEbEcE)E:\ a_Ex+b_Ey+c_Ez+d_E=0,\ \ \ \overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}a_E\\b_E\\c_E \end{pmatrix}E: aE​x+bE​y+cE​z+dE​=0,   nE​​=​aE​bE​cE​​​​​

F: aFx+bFy+cFz+dF=0,   nF→=(aFbFcF)F:\ a_Fx+b_Fy+c_Fz+d_F=0,\ \ \ \overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}a_F\\b_F\\c_F \end{pmatrix}F: aF​x+bF​y+cF​z+dF​=0,   nF​​=​aF​bF​cF​​​​​
​cos⁡(α)=∣nE→⋅nF→∣∥nE→∥×∥nF→∥\cos{(\alpha)}=\frac{\lvert \overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow{n_F}\rvert}{\lVert\overrightarrow{n_E}\rVert×\lVert\overrightarrow{n_F}\rVert}cos(α)=∥nE​​∥×∥nF​​∥∣nE​​⋅nF​​∣​​​
​α=cos−1(∣nE→⋅nF→∣∥nE→∥×∥nF→∥)\alpha=cos^{-1} (\frac{\lvert\overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow{n_F}\rvert}{\lVert\overrightarrow{n_E}\lVert×\rVert\overrightarrow{n_F}\rVert} )α=cos−1(∥nE​​∥×∥nF​​∥∣nE​​⋅nF​​∣​)​​


​

Déterminer la relation entre deux plans

Méthode

1.

Compare les deux vecteurs normaux pour la colinéarité.

nE→=knF→\overrightarrow{n_E}=k\overrightarrow{n_F}nE​​=knF​​​​

Si colinéaires : les plans sont confondus ou parallèles :

2a.

Évalue l’équation d’un des plans à l’un des points de l’autre.

Si l’équation est satisfaite, les plans sont parallèles et confondus. 

Si l’équation n’est pas satisfaite, les plans sont seulement parallèles et non confondus.

Si non colinéaires : les plans se croisent sur une ligne d’intersection :

2b.

Détermine la ligne d’intersection sss​ :

  • Trouve deux points satisfaisant les deux équations de plan.
  • Construis la droite passant par ces deux points en prenant comme vecteur directeur le vecteur allant d’un point à l’autre.


Exemple

Déterminer la relation entre les plans E∶   2x−y+z=1E∶\ \ \ 2x-y+z=1E∶   2x−y+z=1​  et F∶   x+y−2z=−1F∶\ \ \ x+y-2z=-1F∶   x+y−2z=−1​.


Vecteurs normaux :

nE→=(2−11)\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}nE​​=​2−11​​​ et nF→=(11−2)\overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}nF​​=​11−2​​​

Vérifie la colinéarité :

(2−11)≠k(11−2)\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\neq k \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}​2−11​​=k​11−2​​​  non colinéaires


Trouve deux points sur les deux plans :


Choisis x=0x=0x=0​ :

Évalue l’équation des plans en x=0x=0x=0​ :

E∶   −y+z=1E∶\ \ \ -y+z=1E∶   −y+z=1​​

F∶   y−2z=−1F∶\ \ \ y-2z=-1F∶   y−2z=−1​​

Coordonnées qui satisfont les deux équations : y=−1y=-1y=−1​, z=0z=0z=0​

→ point A=(0;−1;0)A=(0;-1;0)A=(0;−1;0)​

Choisis x=1 x=1\ x=1 ​ :

Évalue l’équation des plans x=1x=1x=1​ :

E∶   2−y+z=1E∶\ \ \ 2-y+z=1E∶   2−y+z=1​​

F∶   1+y−2z=−1F∶\ \ \ 1+y-2z=-1F∶   1+y−2z=−1​​

Coordonnées qui satisfont les deux équations : y=4y=4y=4​, z=3z=3z=3​

→ point B=(1;4;3)B=(1;4;3)B=(1;4;3)​


Vecteur directeur :

AB→=(153)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\5\\3 \end{pmatrix}AB=​153​​​​


Droite sss​ passant par les points AAA​ et BBB​ :

{x=0+t y=−1+5tz=0+3t\begin{cases}x=0+t\\ y=-1+5t\\ z=0+3t\end{cases}⎩⎨⎧​x=0+t y=−1+5tz=0+3t​​​





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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quand est-ce que deux plans sont sécants ?

Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Les deux plans partagent certains points.

Quand est-ce que deux plans sont confondus ?

Les vecteurs normaux sont colinéaires (parallèles). Les deux plans partagent les mêmes points.

Comment déterminer la relation entre deux plans ?

Compare les deux vecteurs normaux pour la colinéarité. Si colinéaires : les plans sont confondus ou parallèles. Si non colinéaires : les plans se croisent sur une ligne d’intersection.

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