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Équations exponentielles : résolution

Le plus important en quelques mots

Une équation exponentielle contient une puissance où l’inconnue fait partie de l’exposant. Pour pouvoir isoler l’inconnue x il faut utiliser le logarithme.

Conseil : Révise les règles de calcul des logarithmes.

Exemple

$3^{x+1}=3\times5^2$

Résoudre une équation exponentielle

Méthode

1.	Effectue toutes les additions et soustractions de puissances avec $x$ dans l’exposant. *Conseil :* Forme des puissances égales pour additionner : $5^x+5^{x+1}=5^x+5^1\times5^x=6\times5^x$
2.	Isole la puissance restante d’un côté.
3.	Prends le logarithme (ici $\log_5⁡(…)$ ) des deux côtés de l’équation. Choisis la base : Le logarithme doit avoir la même base que la puissance.
4.	Place le $x$ devant le $\log$ grâce à la loi « puissance $\rarr$ multiplication » du logarithme.
5.	Résous en $x$ .

Exemple

$2^x+2^{x+1}=24$

Forme des puissances égales. Ici $2^x$ :

$2^x+2\times2^x=24$

Simplifie l’équation et isole la puissance :

$3\times2^x=24\\2^x=8$

Prends le logarithme :

$\log_{10⁡}(2^x )=\log_{10⁡}(8) \\x\times\log_{10}⁡(2)=\log_{10}⁡(8)$

Résous en $x$ :

$x=\frac{\log_{10}⁡(8)}{\log_{10⁡}(2)}\\\underline{x=3}$

Note : S’il n’y a qu’une seule base, on peut directement comparer les exposants :

$2^x=8 \\2^x=2^3 \\ x=3$

Exercices

Facile

4 Tâches

Moyen

6 Tâches

Difficile

6 Tâches

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que la substitution ?

C'est le fait d'utiliser une autre variable à partir d'un facteur commun, qui permet de résoudre la première équation.

Comment résoudre une équation avec une inconnue élevée à un exposant supérieur à deux ?

Il est nécessaire de transformer l'équation pour qu'elle soit égale à 0. Ensuite, utilise la puissance la plus élevée afin de la mettre en évidence comme facteur, permettant de ne plus avoir que des termes du second degré. Tu peux alors résoudre l'équation comme une équation du second degré égale à 0.

Qu'est-ce qu'une équation de degré supérieur à deux ?

Une équation dans laquelle l'inconnue est élevée à un exposant qui est supérieur ou égal à 3.

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Méthode

1.	Effectue toutes les additions et soustractions de puissances avec $x$ dans l’exposant. *Conseil :* Forme des puissances égales pour additionner : $5^x+5^{x+1}=5^x+5^1\times5^x=6\times5^x$
2.	Isole la puissance restante d’un côté.
3.	Prends le logarithme (ici $\log_5⁡(…)$ ) des deux côtés de l’équation. Choisis la base : Le logarithme doit avoir la même base que la puissance.
4.	Place le $x$ devant le $\log$ grâce à la loi « puissance $\rarr$ multiplication » du logarithme.
5.	Résous en $x$ .

Exemple

$2^x+2^{x+1}=24$

Forme des puissances égales. Ici $2^x$ :

$2^x+2\times2^x=24$

Simplifie l’équation et isole la puissance :

$3\times2^x=24\\2^x=8$

Prends le logarithme :

$\log_{10⁡}(2^x )=\log_{10⁡}(8) \\x\times\log_{10}⁡(2)=\log_{10}⁡(8)$

Résous en $x$ :

$x=\frac{\log_{10}⁡(8)}{\log_{10⁡}(2)}\\\underline{x=3}$

Note : S’il n’y a qu’une seule base, on peut directement comparer les exposants :

$2^x=8 \\2^x=2^3 \\ x=3$

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