Fonctions : composition de fonctions

Définition

Composer des fonctions signifie les appliquer les unes après les autres. La composition s’écrit $f(g(x))$ ou $f∘g (x)$ (prononcé « f rond g »).

Note : On commence toujours par appliquer la fonction qui est le plus près du $x$ .

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Exemple

Considère les fonctions $f(x)=3x+2$  et $g(x)=x^2$ . Quelle est la valeur de $f(g(-1))$ ?

Calcule $g(-1)$ :

$g(-1)=(-1)^2=1$

Applique la fonction $f$ au résultat obtenu :

$f(g(-1))=f(1)=3+2=5$

Forme explicite

On peut exprimer la composition de deux fonctions sous la forme d’une seule fonction. Pour ce faire, on remplace la variable (souvent notée $x$ ) de la fonction extérieure par l’équation de la fonction intérieure.

Exemple

On considère les fonctions $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2$ .

$f(g(x))=f(x^2)=(3x^2+2)$

$g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2=(9x^2+12x+4)$

Propriétés

La composition de fonctions est « associative » :

Pour n’importe quelles fonctions $f$ , $g$ et $h$ ,

$(f∘g)∘h=f∘(g∘h)$

La composition de fonctions n’est pas « commutative » :

$f∘g (x)≠g∘f(x)$

Exemple

Pour $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2$  :

$f(g(-1))=5≠1=g(f(-1))$

Ensemble de définitions

Pour que la composition de deux fonctions soit définie, il faut que l’ensemble des images de la première fonction appliquée à $x$ soit contenu dans l’ensemble de définitions de la deuxième fonction appliquée.

Donc pour définir la composition $f∘g$ en un point $x_A$ , il faut que $x_A$ soit dans l’ensemble de définitions de $g$ et également que $g(x_A)$ soit dans l’ensemble de définitions de $f$ .