Fonctions : composition de fonctions

Définition

Composer des fonctions signifie les appliquer les unes après les autres. La composition s’écrit $$f(g(x))$$​ ou $$f∘g (x)$$​ (prononcé « f rond g »).

Note : On commence toujours par appliquer la fonction qui est le plus près du $$x$$.​

​Exemple  

Considère les fonctions $$f(x)=3x+2$$​ et $$g(x)=x^2$$​. Quelle est la valeur de $$f(g(-1))$$ ?

Calcule $$g(-1)$$​ : 

​$$g(-1)=(-1)^2=1$$​​

Applique la fonction $$f$$​ au résultat obtenu : 

​$$f(g(-1))=f(1)=3+2=5$$​​

Forme explicite

On peut exprimer la composition de deux fonctions sous la forme d’une seule fonction. Pour ce faire, on remplace la variable (souvent notée $$x$$​) de la fonction extérieure par l’équation de la fonction intérieure.

Exemple 

On considère les fonctions $$f(x)=3x+2$$​ et $$g(x)=x^2$$​.

​$$f(g(x))=f(x^2)=(3x^2+2)$$​​

​$$g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2=(9x^2+12x+4)$$​​

​

Propriétés

La composition de fonctions est « associative » :

Pour n’importe quelles fonctions $$f$$​, $$g$$​ et $$h$$​,

​$$(f∘g)∘h=f∘(g∘h)$$​​

La composition de fonctions n’est pas « commutative » :

​$$f∘g (x)≠g∘f(x)$$​​

Exemple 

Pour $$f(x)=3x+2$$ et $$g(x)=x^2$$​ :

​$$f(g(-1))=5≠1=g(f(-1))$$​​

Ensemble de définitions

Pour que la composition de deux fonctions soit définie, il faut que l’ensemble des images de la première fonction appliquée à $$x$$​ soit contenu dans l’ensemble de définitions de la deuxième fonction appliquée.

Donc pour définir la composition $$f∘g$$​ en un point $$x_A$$​, il faut que $$x_A$$​ soit dans l’ensemble de définitions de $$g$$​ et également que $$g(x_A)$$​ soit dans l’ensemble de définitions de $$f$$​.