Équations différentielles homogènes 

Définition 

Une équation différentielle est homogène si tous ses termes contiennent l’inconnue $$y$$​. C’est une équation de la forme $$y'=ay$$​. Elle peut aussi s’écrire sous la forme $$y'-ay=0$$​. 

Note : $$y'=ay$$​ peut aussi s’écrire $$y'-ay=0$$​ 

Exemples 

$$y’’+2y=0$$​ est une équation homogène. 

$$y’’+2y=3$$​ n’est pas une équation homogène. 

$$y’’+2y=4x$$​ n’est pas une équation homogène. 

Solutions d’une équation différentielle homogène 

Les solutions sur $$\R$$​ de l’équation différentielle $$y'=ay$$​ sont les fonctions : 

​$$y(x)=ke^{ax}$$​​

avec $$k\in\R$$​ une constante.
Pour déterminer la valeur de $$k$$​, il faut qu’une condition initiale soit donnée. 

Note : Sans condition initiale, il ne faut pas enlever la constante k des solutions. On trouve ainsi un ensemble de solutions et pas une solution unique. 

Exemple 

Écris les solutions de l’équation suivante :

$$\begin{cases}3y'+y&=0\\y(0)&=4\end{cases}$$​​

Ramène l’équation donnée à la forme $$y'=ay$$​ : 

$$y'=-\frac13 y$$​​

Remplace le coefficient a dans les solutions $$y(x)=ke^{ax} k$$​ : 

$$y(x)=ke^{-\frac13 x}$$​​

Utilise la condition initiale pour déterminer $$k$$​ : 

$$y(0)=4⇒ke^{-\frac13×0}=4 \\⇒k=4$$​​

La solution unique est donc : 

​$$y(x)=4e^{-\frac13 x}$$​​