Combinatoires : arrangement

Définition

Dans un ensemble $E$ de $n$ éléments distincts, un $k$ -uplet est une liste ordonnée de $k$ éléments de $E$ .

Si les $k$ éléments sont deux à deux distincts, le $k$ -uplet s’appelle un arrangement.

Note 1 : Un arrangement prend en compte l’ordre des éléments.

Note 2 : On note souvent $\mathcal{A}_k^n$ l’arrangement de $k$ éléments parmi $n$ .

Dans une urne, il y a 5 boules de couleurs différentes : rouge, bleu, vert, jaune et violet. On tire 3 boules sans remise.

3-uplets (ou triplets) :

Les formules pour calculer le nombre d’arrangements sont utilisées lorsque :

On n’utilise pas tous les $n$ éléments mais seulement une sélection de $k$ éléments de $E$ .
Et on tient compte de l’ordre dans lequel on choisit ou arrange les $k$ éléments.

$n∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ différents\ dans\ E\\k∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ choisis/retir\acute{e}s$

Note : Dans le cas « Distinct », les éléments ne peuvent pas être utilisés plusieurs fois. Dans le cas « Non distinct», ils peuvent se répéter.

Arrangement distinct :

Dans une urne, il y a 5 boules de couleurs différentes. On tire 3 boules sans remise.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Distinct
Oui	Oui	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=5\\k=Nombre\ de\ boules\ tirées=3$	$\frac{5!}{\left(5-3\right)!}=5\times4=\underline{20}$

Arrangement distinct ou non :

Dans une urne se trouvent 5 boules noires et 10 boules vertes. On tire 3 boules.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Distinct
Oui	Oui	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$n^k$	$n=Nombre\ de\ couleurs=2\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{ees}=3$	$2^3=\underline{8}$