Combinatoires : arrangement

Définition

Dans un ensemble $$E$$​ de $$n$$​ éléments distincts, un $$k$$​-uplet est une liste ordonnée de $$k$$​ éléments de $$E$$​.

Si les $$k$$​ éléments sont deux à deux distincts, le $$k$$-uplet s’appelle un arrangement.

Note 1 : Un arrangement prend en compte l’ordre des éléments.

Note 2 : On note souvent $$\mathcal{A}_k^n$$​ l’arrangement de $$k$$​ éléments parmi $$n$$​.

Exemple

Dans une urne, il y a 5 boules de couleurs différentes : rouge, bleu, vert, jaune et violet. On tire 3 boules sans remise.

3-uplets (ou triplets) :

Formules

Les formules pour calculer le nombre d’arrangements sont utilisées lorsque : 

• On n’utilise pas tous les $$n$$​ éléments mais seulement une sélection de $$k$$​ éléments de $$E$$​.
• Et on tient compte de l’ordre dans lequel on choisit ou arrange les $$k$$​ éléments.

​$$n∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ différents\ dans\ E\\k∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ choisis/retir\acute{e}s$$​​

Note : Dans le cas « Distinct », les éléments ne peuvent pas être utilisés plusieurs fois. Dans le cas « Non distinct», ils peuvent se répéter.

Exemple 

Arrangement distinct :

Dans une urne, il y a 5 boules de couleurs différentes. On tire 3 boules sans remise.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Exemple

Arrangement distinct ou non :

Dans une urne se trouvent 5 boules noires et 10 boules vertes. On tire 3 boules.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?