Arbre pondéré : définition et méthode

Définition

Les arbres pondérés servent à représenter les probabilités d’expériences aléatoires comprenant des probabilités conditionnelles.

Dessiner un arbre pondéré

MÉTHODE

Avec $A,B,...$ les issues du 1^er évènement et $C,D,...$ les issues du 2^ème évènement.

1.	Déduis de l’énoncé les probabilités du 1^er niveau de branche : $P\left(A\right),\ P\left(B\right),\ \ldots$
2.	Déduis de l’énoncé les probabilités conditionnelles du 2^ème niveau de branches : $P_A\left(C\right),P_A\left(D\right),\ P_B\left(C\right),\ P_B\left(D\right),\ \ldots$
3.	Calcule les probabilités des bouts de chemin : $P\left(A\cap C\right),\ P\left(A\cap D\right),\ P\left(B\cap C\right),\ P\left(B\cap D\right),\ \ldots$ Pour cela, isole $P\left(A\cap C\right)={\ P}_A\left(C\right)\times P\left(A\right)$ dans la formule des probabilités conditionnelles $P_A\left(C\right)=\frac{P\left(A\cap C\right)}{P\left(A\right)}$ .
4.	Construis l’arbre avec les probabilités ainsi calculées.
5.	Identifie dans l’arbre la valeur recherchée.

Note : La somme des probabilités issues d’un même sommet est égale à 1.

Exemple

On dispose d’un sac avec des boules bleues et des boules rouges. De plus certaines sont grandes et d’autres sont petites. On connait les informations suivantes :

Sur les 10 boules présentes dans le sac, 7 d’entre elles sont rouges.
20% des boules bleues sont grandes.
La moitié des boules rouges sont petites.

Quelle est la probabilité de tirer une grande boule rouge ?

Calcul des probabilités de l’arbre :

On utilise : $R=boule\ rouge; B=boule\ bleue;\ G=grande\ boule;P=petite\ boule$

1^er niveau de branches : couleur	2^ème niveau de branches : taille	Fin de chemin : couleur et taille
$P\left(R\right)=\frac{7}{10}$ $P\left(B\right)=1-P\left(R\right)=\frac{3}{10}$	$P_B\left(G\right)=20%=\frac{1}{5}$ $P_B\left(P\right)=1-P_B\left(G\right)=\frac{4}{5}$ $P_R\left(G\right)=50%=\frac{1}{2}$ $P_R\left(P\right)=1-P_R\left(G\right)=\frac{1}{2}$	$P\left(B\cap G\right)={\ P}_B\left(G\right)\times P\left(B\right)=\frac{3}{50}$ $P\left(B\cap P\right)={\ P}_B\left(P\right)\times P\left(B\right)=\frac{6}{25}$ $P\left(R\cap G\right)={\ P}_R\left(G\right)\times P\left(R\right)=\frac{7}{20}$ $P\left(R\cap P\right)={\ P}_R\left(P\right)\times P\left(R\right)=\frac{7}{20}$

Note : Représenter la couleur ou la taille en premier ne modifie pas les probabilités de fin des chemins $P\left(A\cap B\right)$  puisque $A\cap B=B\cap A$ .

Construis l’arbre :

Mathématiques; Probabilités conditionnelles; 1re générale; Arbre pondéré : définition et méthode

La probabilité de tirer une grande boule rouge correspond au troisième chemin en partant du haut : $P\left(R\cap G\right)=P\left(R\right)\times P_R\left(G\right)=\underline{\frac{7}{20}}$