Position relative : sphère et plan

Position relative entre une sphère et un plan

$$d$$​ est la distance du plan au centre de la sphère. Cette distance est toujours mesurée perpendiculairement au plan.

Trois cas

POINT DE CONTACT	SECTION	AUCUN POINT D’INTERSECTION
$$d=r$$​ : Le plan est tangent à la sphère en un point.	$$\ d<r$$​ : Le plan intersecte la sphère.	$$\ d>r$$​ : Le plan n’intersecte pas la sphère.

​

Déterminer l’intersection entre une sphère et un plan

Le plan est donné sous la forme $$ax+by+cz+d=0$$​, un vecteur normal est donc donné par .

La sphère est de centre $$M=(x_M\ ;\ y_M\ ;\ z_M)$$​ et de rayon $$r$$​.

MÉTHODE

Note 2 : En général, la solution sera un cercle. Si le rayon $$r^\prime=0$$​, l’intersection est juste un point et le plan est tangent à la sphère en ce point. Si  $$\overrightarrow{\lVert MS \rVert}>r$$​, alors il n’y a pas d’intersection.

Exemple

Trouve l’intersection du plan $$3x-2y+z+27=0$$​ et la sphère de centre $$M(1;1;0)$$​ et de rayon $$r=9$$​.

Construis la droite $$g$$​ :

$$\begin{cases}x=1+3k\\y=1-2k\\z=k\end{cases}$$​​

Calcule le point d’intersection $$S$$​ :

$$3\left(1+3k\right)-2\left(1-2k\right)+k+27=0$$​​

Résous pour trouver $$k$$​ :

$$k=-2\\S\left(-5;5;\ -2\right)$$​​

Calcule la distance entre $$S$$​ et $$M$$​ :

$$\lVert \overrightarrow{MS} \rVert=\lVert \begin{pmatrix} -6\\4\\-2\end{pmatrix} \rVert =\sqrt{(-6)^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{56}$$​​

Calcule le rayon du cercle d’intersection $$r'$$​ :

$$r^\prime=\sqrt{9^2-{\sqrt{56}}^2}=5$$​​

L’intersection est donc le cercle de centre $$\underline{S\left(-5;5;\ -2\right)}$$​ et de rayon $$\underline{r^\prime=5}$$​.