Comment je peux utiliser le raisonnement par récurrence ?

Commence par vérifier que l’énoncé/la formule est vraie pour la plus petite valeur entière (généralement 0 ou 1). Ensuite, pars du principe que l’énoncé est vrai pour n, et sers-toi de cette information pour prouver qu’il est vrai pour n + 1.

Pouvoir illimité

Obtiens le pack complet !

Apprendre sans limites

Vidéos explicatives sans publicité evulpo

Nombre illimité d'exercices

Résumés imprimables

Statistiques d'apprentissage détaillées

Rapport d'apprentissage hebdomadaire

Annule à tout moment

À partir de 7.42 € /mois

Profite maintenant de l'abonnement annuel !

Économise 38%

~~11,99 € / Mois~~

Économise 38%

7,42 € / Mois

Aperçu des chapitres

Objectifs d'apprentissage

Mathématiques

Suites : raisonnement par récurrence

Ta progression dans la leçon

Résumé

Télécharger

Suites : raisonnement par récurrence

Définition

Le raisonnement par récurrence est une méthode pour démontrer une propriété. Il sert à démontrer qu’un énoncé est vrai pour tout nombre naturel.

Exemple

La somme des nombres entiers de $1$ à n pour n’importe quel nombre naturel $n$ est donnée par la formule :

$1+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Vérification de la formule pour certaines valeurs de $n$ :

Pour $n=5$ ∶ $1+2+3+4+5=15=\frac{5\times6}{2}$ 
Pour $n=10$ ∶ $1+2+3+⋯+10=55=\frac{10\times11}{2}$

Il n’est pas possible de vérifier la formule pour toutes les valeurs de $n$ . Le raisonnement par récurrence garantit que la formule est toujours valable, pour n’importe quel nombre naturel $n$ .

Idée

L’idée est de vérifier que l’énoncé en question est vrai pour la ou les premières valeurs entières concernées (généralement $0$ ou $1$ ). Puis, on montre que si l’énoncé est vrai pour un certain $n$ , alors il est nécessairement vrai pour $n+1$ .

Méthode

1.	Vérifie que l’énoncé/la formule est vraie pour la plus petite valeur entière (généralement $0$ ou $1$ ). *Note :* Cette étape est courte et souvent facile mais elle est très importante, ne l’oublie pas.
2.	Pars du principe que l’énoncé est vrai pour n, et sers-toi de cette information pour prouver qu’il est vrai pour $n+1$ . *Conseil :* Dans la formule pour $n+1$ , tu as le droit d’utiliser la formule que tu supposes vraie jusqu’à $n$ .

Grâce à cette méthode, on sait que la formule est vraie pour une première valeur, par exemple $1$ .
Puis, on sait que si la formule est vraie pour $n=1$ , alors elle est aussi vraie pour $n+1=2$ .
Puis, on sait que si la formule est vraie pour $n=2$ , alors elle est aussi vraie pour $n+1=3$ , etc.
Ainsi, la formule est vraie pour l’ensemble des nombres entiers naturels.

Exemple

Prouve que la formule $1+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}$ est valable pour toutes les valeurs entières naturelles de $n$ .

Vérifie la formule pour $n=1$ :

$1=\frac{1\times2}{2}$

Pars du principe que la formule $1+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}2{}$ est vraie pour n et prouve-la pour $n+1$ :

$1+2+⋯+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Retrouve la forme utilisée pour $n$ et sers-toi de la formule :

$1+2+⋯+n+(n+1)=(1+2+⋯+n)+(n+1)= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

Rassemble les termes pour obtenir la forme désirée :

$\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$

Suites : raisonnement par récurrence

Définition

Le raisonnement par récurrence est une méthode pour démontrer une propriété. Il sert à démontrer qu’un énoncé est vrai pour tout nombre naturel.

Exemple

La somme des nombres entiers de $1$ à n pour n’importe quel nombre naturel $n$ est donnée par la formule :

$1+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Vérification de la formule pour certaines valeurs de $n$ :

Pour $n=5$ ∶ $1+2+3+4+5=15=\frac{5\times6}{2}$ 
Pour $n=10$ ∶ $1+2+3+⋯+10=55=\frac{10\times11}{2}$

Idée

Méthode

1.	Vérifie que l’énoncé/la formule est vraie pour la plus petite valeur entière (généralement $0$ ou $1$ ). *Note :* Cette étape est courte et souvent facile mais elle est très importante, ne l’oublie pas.
2.	Pars du principe que l’énoncé est vrai pour n, et sers-toi de cette information pour prouver qu’il est vrai pour $n+1$ . *Conseil :* Dans la formule pour $n+1$ , tu as le droit d’utiliser la formule que tu supposes vraie jusqu’à $n$ .

Exemple

Prouve que la formule $1+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}$ est valable pour toutes les valeurs entières naturelles de $n$ .

Vérifie la formule pour $n=1$ :

$1=\frac{1\times2}{2}$

Pars du principe que la formule $1+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}2{}$ est vraie pour n et prouve-la pour $n+1$ :

$1+2+⋯+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Retrouve la forme utilisée pour $n$ et sers-toi de la formule :

$1+2+⋯+n+(n+1)=(1+2+⋯+n)+(n+1)= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

Rassemble les termes pour obtenir la forme désirée :

$\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Comment je peux utiliser le raisonnement par récurrence ?

Réponse : Commence par vérifier que l’énoncé/la formule est vraie pour la plus petite valeur entière (généralement 0 ou 1). Ensuite, pars du principe que l’énoncé est vrai pour n, et sers-toi de cette information pour prouver qu’il est vrai pour n + 1.
Question : À quoi sert le raisonnement par récurrence ?

Réponse : Il sert à démontrer qu’un énoncé est vrai pour tout nombre naturel.
Question : Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence d'une suite ?

Réponse : Le raisonnement par récurrence est une méthode pour démontrer une propriété.

Théorie

Exercices

Protection des données

Nous et des tiers, tels que nos partenaires publicitaires et nos prestataires de services, utilisons des cookies et des technologies similaires pour fournir nos services, aider à personnaliser le contenu et mesurer les annonces. En cliquant sur "Accepter les cookies" ou en autorisant uniquement le cookie nécessaire via "Seulement le nécessaire", tu acceptes cette pratique (pour en savoir plus, consulte notre Politique de confidentialité). Politique de confidentialité

Pouvoir illimité

Apprendre sans limites

Profite maintenant de l'abonnement annuel !

Suites : raisonnement par récurrence

Suites : raisonnement par récurrence

Définition

Exemple

Idée

Méthode

Exemple

Suites : raisonnement par récurrence

Définition

Exemple

Idée

Méthode

Exemple

Théorie comprise ?