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Suites : raisonnement par récurrence

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Enseignant: Clémence

Résumés

Suites : raisonnement par récurrence

Définition 

Le raisonnement par récurrence est une méthode pour démontrer une propriété. Il sert à démontrer qu’un énoncé est vrai pour tout nombre naturel. 


Exemple 

La somme des nombres entiers de 11​ à n pour n’importe quel nombre naturel nn​ est donnée par la formule : 


1+2++n=n(n+1)21+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}​​


Vérification de la formule pour certaines valeurs de nn​ : 

  • Pour n=5n=5​∶ 1+2+3+4+5=15=5×621+2+3+4+5=15=\frac{5\times6}{2}
  • Pour n=10n=10​∶ 1+2+3++10=55=10×1121+2+3+⋯+10=55=\frac{10\times11}{2}


Il n’est pas possible de vérifier la formule pour toutes les valeurs de nn​. Le raisonnement par récurrence garantit que la formule est toujours valable, pour n’importe quel nombre naturel nn​. 


Idée 

L’idée est de vérifier que l’énoncé en question est vrai pour la ou les premières valeurs entières concernées (généralement 00​ ou 11​). Puis, on montre que si l’énoncé est vrai pour un certain nn​, alors il est nécessairement vrai pour n+1n+1​. 


Méthode 

1.
Vérifie que l’énoncé/la formule est vraie pour la plus petite valeur entière (généralement 00​ ou 11​).
Note : Cette étape est courte et souvent facile mais elle est très importante, ne l’oublie pas.
2.
Pars du principe que l’énoncé est vrai pour n, et sers-toi de cette information pour prouver qu’il est vrai pour n+1n+1​.
Conseil : Dans la formule pour n+1n+1​, tu as le droit d’utiliser la formule que tu supposes vraie jusqu’à nn​.


Grâce à cette méthode, on sait que la formule est vraie pour une première valeur, par exemple 11​.
Puis, on sait que si la formule est vraie pour n=1n=1​, alors elle est aussi vraie pour n+1=2n+1=2​.
Puis, on sait que si la formule est vraie pour n=2n=2​, alors elle est aussi vraie pour n+1=3n+1=3​, etc.
Ainsi, la formule est vraie pour l’ensemble des nombres entiers naturels. 


Exemple 

Prouve que la formule 1+2++n=n(n+1)21+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}​ est valable pour toutes les valeurs entières naturelles de nn​. 

Vérifie la formule pour n=1n=1​ : 


1=1×221=\frac{1\times2}{2}​​


Pars du principe que la formule 1+2++n=n(n+1)21+2+⋯+n=\frac{n(n+1)}2{}​ est vraie pour n et prouve-la pour n+1n+1​ : 


1+2++n+(n+1)=(n+1)(n+2)21+2+⋯+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}​​


Retrouve la forme utilisée pour nn​ et sers-toi de la formule : 


1+2++n+(n+1)=(1+2++n)+(n+1)=n(n+1)2+(n+1)1+2+⋯+n+(n+1)=(1+2+⋯+n)+(n+1)= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)​​


Rassemble les termes pour obtenir la forme désirée : 


n(n+1)2+(n+1)=n(n+1)+2(n+1)2=(n+2)(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}​​


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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment je peux utiliser le raisonnement par récurrence ?

À quoi sert le raisonnement par récurrence ?

Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence d'une suite ?

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