Position relative : sphère et droite

Positions relatives entre une sphère et une droite

$$d$$​ est la distance de la droite au centre de la sphère. Cette distance est toujours mesurée perpendiculairement à la droite.

Trois cas

POINT DE CONTACT	DEUX POINTS D’INTERSECTION	AUCUN POINT D’INTERSECTION
$$d=r$$​ : La droite est tangente à la sphère en un point.	$$d<r$$​ : La droite intersecte la sphère en deux points.	$$d>r$$​ : La droite ne coupe pas la sphère.

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Déterminer l’intersection entre une sphère et une droite

L’équation de la sphère de centre $$M\left(x_M;y_M;z_M\right)$$​ est donnée sous la forme standard :

$$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2$$​​

où $$r\in\mathbb{R}$$​ est le rayon.

La droite est donnée sous forme paramétrique : ​

$$\begin{cases}x=ku_x+a_x \\y=ku_y+a_y \\z=ku_z+a_z\end{cases}$$​​

MÉTHODE

S’il existe au moins une solution pour $$k$$​, on trouve le(s) point(s) d’intersection en substituant la (ou les) solution(s) dans l’équation de la droite.

Exemple 

Trouve les points d’intersection de la sphère d’équation $$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1$$ et de la droite d’équation 

$$\begin{cases}x=1\\y=k-2\\z=2\end{cases}$$

Les points sur la droite sont de la forme : $$(1\ ;k-2\ ;\ 2)$$​

Remplace ces valeurs dans l’équation de la sphère et résous l’équation : 

Il y a une unique solution et donc un unique point d’intersection.

Substitue $$k=4$$​ dans l’équation de la droite :

$$(1\ ;k-2\ ;\ 2)=(1\ ;4-2\ ;\ 2)=(1\ ;\ 2\ ;\ 2)$$​​

Les coordonnées du point d’intersection sont donc $$\underline{(1\ ;\ 2\ ;\ 2)}.$$