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Mathematik

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Proportionalität als lineare Funktion

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Proportionalität als lineare Funktion

Proportionalität

Zeichnet man Wertepaare von proportionalen Grössen in ein Koordinatensystem, so liegen alle Wertepaare auf einer Linie.


Man beschreibt die Punkte P(xy)P(x|y) auf der Geraden durch die Funktionsvorschrift:

y=mxy=mx​​

mm​: Proportionalitätsfaktor / Steigungsfaktor


Beispiel
Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion


Lineare Funktion

Definition

Eine lineare Funktion beschreibt eine Abhängigkeit von Punkten auf einer Geraden.


Allgemeine Formel

y=mx+by=mx+b​​

mm​: Steigungsfaktor oder Wachstumsrate

bb​: y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)


Hinweis: Beachte, dass die lineare Funktion nur eine Proportionalität beschreibt, wenn b=0b=0.

Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion


Funktionsgleichung bestimmen

Um eine Funktionsgleichung zu bestimmen muss man die Steigung und den y-Achsenschnittpunkt der Funktion bestimmen.


STEIGUNG mm

y-Achsenabschnitt bb

Die Steigung gibt die Änderung des y-Wertes bei Erhöhung des x-Wertes an.

m=A¨nderunginyA¨nderunginx=yxm=\frac{Änderung in y}{Änderung in x}=\frac{∆y}{∆x}​​

Der Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

y=0y=0​​


Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion


Vorgehen bei typischen Aufgaben

Steigung mit zwei Punkten bestimmen


VORGEHEN

1.
​Wähle zwei Punkte P(xy)P(x|y)​ und Q(ab) Q(a|b)​ auf dem Graphen der Funktion.
2.
Bestimme die Änderung von x und die Änderung von y von P zu Q.
3.
Berechne die Steigung: m=A¨nderung in yA¨nderung in x=aybxm=\frac{Änderung\, in\, y}{Änderung\, in\, x}=\frac{a-y}{b-x}​​


Beispiel - P(00)P(0|0)​ und Q(21) Q(2|1)​​


Änderung in x: 20=2 2-0=2​​

Änderung in y: 10=11-0=1​​


Steigung: m=12=0.5m=\frac{1}{2}=0.5​​



Graph einzeichnen


VORGEHEN

1.

Bestimme mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte auf dem Graphen.

Wähle einen x-Wert und berechne den zugehörigen y-Wert.

2.

Zeichne beide Punkte im Koordinatensystem ein.

3.

Verbinde die beiden Punkte mit einer Geraden.

Markierte Punkte und Verbindungsgerade:

Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Proportionalität: Definition, Darstellung & Dreisatz

Proportionalität als lineare Funktion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

  • Frage: Wie kann ich Propportionalität als lineare Funktion darstellen?

    Antwort: Zeichnet man Wertepaare von proportionalen Grössen in ein Koordinatensystem, so liegen alle Wertepaare auf einer Linie.

  • Frage: Was ist eine lineare Funktion?

    Antwort: Eine lineare Funktion beschreibt eine Abhängigkeit von Punkten auf einer Geraden.

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