Proportionalität als lineare Funktion
Proportionalität
Zeichnet man Wertepaare von proportionalen Grössen in ein Koordinatensystem, so liegen alle Wertepaare auf einer Linie.
Man beschreibt die Punkte P(x∣y) auf der Geraden durch die Funktionsvorschrift:
y=mx
m: Proportionalitätsfaktor / Steigungsfaktor
Beispiel
Lineare Funktion
Definition
Eine lineare Funktion beschreibt eine Abhängigkeit von Punkten auf einer Geraden.
Allgemeine Formel
y=mx+b
m: Steigungsfaktor oder Wachstumsrate
b: y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)
Hinweis: Beachte, dass die lineare Funktion nur eine Proportionalität beschreibt, wenn b=0.
Funktionsgleichung bestimmen
Um eine Funktionsgleichung zu bestimmen muss man die Steigung und den y-Achsenschnittpunkt der Funktion bestimmen.
STEIGUNG m | y-Achsenabschnitt b |
Die Steigung gibt die Änderung des y-Wertes bei Erhöhung des x-Wertes an. m=A¨nderunginxA¨nderunginy=∆x∆y
| Der Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. y=0
|
Vorgehen bei typischen Aufgaben
Steigung mit zwei Punkten bestimmen
VORGEHEN
1.
| Wähle zwei Punkte P(x∣y) und Q(a∣b) auf dem Graphen der Funktion. |
2. | Bestimme die Änderung von x und die Änderung von y von P zu Q.
|
3. | Berechne die Steigung: m=A¨nderunginxA¨nderunginy=b−xa−y |
Beispiel - P(0∣0) und Q(2∣1)
Änderung in x: 2−0=2
Änderung in y: 1−0=1
Steigung: m=21=0.5
Graph einzeichnen
VORGEHEN
1. | Bestimme mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte auf dem Graphen. Wähle einen x-Wert und berechne den zugehörigen y-Wert. |
2. | Zeichne beide Punkte im Koordinatensystem ein. |
3. | Verbinde die beiden Punkte mit einer Geraden. |
Markierte Punkte und Verbindungsgerade:
Proportionalität als lineare Funktion
Proportionalität
Zeichnet man Wertepaare von proportionalen Grössen in ein Koordinatensystem, so liegen alle Wertepaare auf einer Linie.
Man beschreibt die Punkte P(x∣y) auf der Geraden durch die Funktionsvorschrift:
y=mx
m: Proportionalitätsfaktor / Steigungsfaktor
Beispiel
Lineare Funktion
Definition
Eine lineare Funktion beschreibt eine Abhängigkeit von Punkten auf einer Geraden.
Allgemeine Formel
y=mx+b
m: Steigungsfaktor oder Wachstumsrate
b: y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)
Hinweis: Beachte, dass die lineare Funktion nur eine Proportionalität beschreibt, wenn b=0.
Funktionsgleichung bestimmen
Um eine Funktionsgleichung zu bestimmen muss man die Steigung und den y-Achsenschnittpunkt der Funktion bestimmen.
STEIGUNG m | y-Achsenabschnitt b |
Die Steigung gibt die Änderung des y-Wertes bei Erhöhung des x-Wertes an. m=A¨nderunginxA¨nderunginy=∆x∆y
| Der Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. y=0
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Vorgehen bei typischen Aufgaben
Steigung mit zwei Punkten bestimmen
VORGEHEN
1.
| Wähle zwei Punkte P(x∣y) und Q(a∣b) auf dem Graphen der Funktion. |
2. | Bestimme die Änderung von x und die Änderung von y von P zu Q.
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3. | Berechne die Steigung: m=A¨nderunginxA¨nderunginy=b−xa−y |
Beispiel - P(0∣0) und Q(2∣1)
Änderung in x: 2−0=2
Änderung in y: 1−0=1
Steigung: m=21=0.5
Graph einzeichnen
VORGEHEN
1. | Bestimme mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte auf dem Graphen. Wähle einen x-Wert und berechne den zugehörigen y-Wert. |
2. | Zeichne beide Punkte im Koordinatensystem ein. |
3. | Verbinde die beiden Punkte mit einer Geraden. |
Markierte Punkte und Verbindungsgerade:
