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Proportionalität als lineare Funktion

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Proportionalität

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Dichte

Dichte: Definition & Formel

Darstellung

Koordinatensystem

Koordinatensystem: Punkte verschieben, spiegeln & drehen

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Proportionalität als lineare Funktion

Proportionalität

Zeichnet man Wertepaare von proportionalen Grössen in ein Koordinatensystem, so liegen alle Wertepaare auf einer Linie.


Man beschreibt die Punkte P(x∣y)P(x|y)P(x∣y)​ auf der Geraden durch die Funktionsvorschrift:

y=mxy=mxy=mx​​

mmm​: Proportionalitätsfaktor / Steigungsfaktor


Beispiel
Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion


Lineare Funktion

Definition

Eine lineare Funktion beschreibt eine Abhängigkeit von Punkten auf einer Geraden.


Allgemeine Formel

y=mx+by=mx+by=mx+b​​

mmm​: Steigungsfaktor oder Wachstumsrate

bbb​: y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)


Hinweis: Beachte, dass die lineare Funktion nur eine Proportionalität beschreibt, wenn b=0b=0b=0​.

Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion


Funktionsgleichung bestimmen

Um eine Funktionsgleichung zu bestimmen muss man die Steigung und den y-Achsenschnittpunkt der Funktion bestimmen.


STEIGUNG mmm​

y-Achsenabschnitt bbb​

Die Steigung gibt die Änderung des y-Wertes bei Erhöhung des x-Wertes an.

m=A¨nderunginyA¨nderunginx=∆y∆xm=\frac{Änderung in y}{Änderung in x}=\frac{∆y}{∆x}m=A¨nderunginxA¨nderunginy​=∆x∆y​​​

Der Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

y=0y=0y=0​​


Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion


Vorgehen bei typischen Aufgaben

Steigung mit zwei Punkten bestimmen


VORGEHEN

1.
​Wähle zwei Punkte P(x∣y)P(x|y)P(x∣y)​ und Q(a∣b) Q(a|b)Q(a∣b)​ auf dem Graphen der Funktion.
2.
Bestimme die Änderung von x und die Änderung von y von P zu Q.
3.
Berechne die Steigung: m=A¨nderung in yA¨nderung in x=a−yb−xm=\frac{Änderung\, in\, y}{Änderung\, in\, x}=\frac{a-y}{b-x}m=A¨nderunginxA¨nderunginy​=b−xa−y​​​


Beispiel - P(0∣0)P(0|0)P(0∣0)​ und Q(2∣1) Q(2|1)Q(2∣1)​​


Änderung in x: 2−0=2 2-0=22−0=2​​

Änderung in y: 1−0=11-0=11−0=1​​


Steigung: m=12=0.5m=\frac{1}{2}=0.5m=21​=0.5​​



Graph einzeichnen


VORGEHEN

1.

Bestimme mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte auf dem Graphen.

Wähle einen x-Wert und berechne den zugehörigen y-Wert.

2.

Zeichne beide Punkte im Koordinatensystem ein.

3.

Verbinde die beiden Punkte mit einer Geraden.

Markierte Punkte und Verbindungsgerade:

Mathematik; Proportionalität; 1. Langzeitgymi; Proportionalität als lineare Funktion
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Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Proportionalität: Wertetabellen mit verschiedenen Grössen

Teil 1

Proportionalität: Wertetabellen mit verschiedenen Grössen

Proportionalität: Wertetabellen ausfüllen

Teil 2

Proportionalität: Wertetabellen ausfüllen

Proportionalität: Definition, Darstellung & Dreisatz

Teil 3

Proportionalität: Definition, Darstellung & Dreisatz

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich Propportionalität als lineare Funktion darstellen?

Zeichnet man Wertepaare von proportionalen Grössen in ein Koordinatensystem, so liegen alle Wertepaare auf einer Linie.

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion beschreibt eine Abhängigkeit von Punkten auf einer Geraden.

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