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Kapitelübersicht

Lernziele

Mathematik

Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Mathe_Sek-Gymi_05GE_02_Ähnlichkeiten_04_Zentrische Streckung 0

Mathe_Sek-Gymi_05GE_02_Ähnlichkeiten_04_Zentrische Streckung 1

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Zusammenfassung

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Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Definition

Bei der zentrischen Streckung wird eine Figur verkleinert, vergrössert und/oder gespiegelt. Verbindet man mehrere Originalpunkt mit ihren Bildpunkten, so treffen sich die Verbindungslinien immer in einem Punkt, dem Streckzentrum Z.

Mathematik; Die Streckung / Ähnlichkeit bei Körpern; 3. Sek / Bez / Real; Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Eigenschaften gestreckter Figuren

Winkel bleiben gleich.
Längenverhältnisse bleiben gleich.
Original- und Bildseiten sind parallel.
Bildfigur ist um 180° gedreht, wenn das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt.

Streckfaktor k

Der Streckfaktor $k$ ist das Verhältnis zwischen:

$k=\frac{Bildlänge}{Originallänge}$

Seitenlängen von Original- und Bildfigur; und	$k=\frac{\bar{A^\prime B^\prime}}{\bar{AB}}$
Abständen vom Streckzentrum zu Original- und Bildfigur	$k=\frac{\bar{ZB^\prime}}{\bar{ZB}}$

Negative Streckfaktor

Die Bildfigur liegt auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums.

Umkehrung des Streckfaktors

Bildfigur zur Originalfigur (Kehrwert):

$k_{Umkehrung}=\frac{1}{k}$

Flächen und Volumen

Flächenänderung:

$F_{Bild}=F_{Original}\cdot k^2$

Volumenänderung:

$V_{Bild}=V_{Original}\cdot\left|k\right|^3$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Streckfaktor bestimmen

VORGEHEN

Bestimme

eine Länge der Originalfigur; oder
den Abstand von einem Punkt der Originalfigur zum Streckzentrum.

Bestimme die entsprechende Länge der Bildfigur.

Berechne das Verhältnis der Bildlänge zur Originallänge.

Beachte: Liegt jeder Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums, so ist der Streckfaktor negativ.

Bildfigur zeichnen

VORGEHEN

1.	Zeichne jeweils eine Linie durch jeden Punkt der Originalfigur und das Streckzentrum.
2.	Bestimme die Abstände der Punkte der Bildfigur vom Streckzentrum.
3.	Zeichne mit dem Streckfaktor alle Bildpunkte und Linien der Bildfigur ein.

Beachte: Bei negativem Streckfaktor liegt die Bildfigur auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums.

Beachte beim Kreis: Bestimme die Position des Mittelpunkts und bestimme auch den Radius mit dem Streckfaktor.

Streckzentrum von zwei Kreisen

Bei zwei Kreisen kann man zwei Streckzentren zeichnen.

VORGEHEN

1.	Verbinde beide Mittelpunkte mit einer Linie ( $l$ ).
2.	Zeichne eine beliebige Gerade ( $p$ ) durch den Mittelpunkt des ersten Kreises. Zeichne eine parallele Gerade ( $p'$ ) durch den Mittelpunkt des zweiten Kreises.
STRECKZENTRUM MITTIG
3.	Zeichne eine Verbindungslinie ( $s$ ) vom Schnittpunkt der ersten Linien ( $p$ ) mit dem ersten Kreis zum gegenüberliegenden Schnittpunkt der parallelen Linien ( $p'$ ) mit dem zweiten Kreis.
4.	Im Schnittpunkt dieser Linie ( $s$ ) mit der Mittelpunktlinie ( $l$ ) befindet sich das Streckzentrum $Z.$

STRECKZENTRUM AUSSEN
3.	Zeichne eine Verbindungslinie ( $s$ ) vom Schnittpunkt der ersten Linien ( $p$ ) mit dem ersten Kreis zum gleichseitigen Schnittpunkt der parallelen Linien ( $p'$ ) mit dem zweiten Kreis.
4.	Im Schnittpunkt dieser Linie ( $s$ ) mit der Mittelpunktlinie ( $l$ ) befindet sich das Streckzentrum .

Innenfigur zeichnen

Durch Streckung eine Innenfigur konstruieren.

VORGEHEN

1.	Wähle die Mitte der Strecke im Halbkreis oder den Mittelpunkt eines ganzen Kreises als Streckzentrum.
2.	Zeichne die gewünschte Figur als Miniatur mittig ans Streckzentrum. Halte dabei die gewünschte Seitenverhältnisse ein.
3.	Zeichne Verbindungslinien durch das Streckzentrum und die Eckpunkte der Miniaturfigur.
4.	Strecke die Figur maximal, sodass die Eckpunkte auf der äusseren Figur liegen.

Beispiel

Ziel	Konstruktion

Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Definition

Eigenschaften gestreckter Figuren

Winkel bleiben gleich.
Längenverhältnisse bleiben gleich.
Original- und Bildseiten sind parallel.
Bildfigur ist um 180° gedreht, wenn das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt.

Streckfaktor k

Der Streckfaktor $k$ ist das Verhältnis zwischen:

$k=\frac{Bildlänge}{Originallänge}$

Seitenlängen von Original- und Bildfigur; und	$k=\frac{\bar{A^\prime B^\prime}}{\bar{AB}}$
Abständen vom Streckzentrum zu Original- und Bildfigur	$k=\frac{\bar{ZB^\prime}}{\bar{ZB}}$

Negative Streckfaktor

Die Bildfigur liegt auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums.

Umkehrung des Streckfaktors

Bildfigur zur Originalfigur (Kehrwert):

$k_{Umkehrung}=\frac{1}{k}$

Flächen und Volumen

Flächenänderung:

$F_{Bild}=F_{Original}\cdot k^2$

Volumenänderung:

$V_{Bild}=V_{Original}\cdot\left|k\right|^3$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Streckfaktor bestimmen

VORGEHEN

Bestimme

eine Länge der Originalfigur; oder
den Abstand von einem Punkt der Originalfigur zum Streckzentrum.

Bestimme die entsprechende Länge der Bildfigur.

Berechne das Verhältnis der Bildlänge zur Originallänge.

Beachte: Liegt jeder Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums, so ist der Streckfaktor negativ.

Bildfigur zeichnen

VORGEHEN

1.	Zeichne jeweils eine Linie durch jeden Punkt der Originalfigur und das Streckzentrum.
2.	Bestimme die Abstände der Punkte der Bildfigur vom Streckzentrum.
3.	Zeichne mit dem Streckfaktor alle Bildpunkte und Linien der Bildfigur ein.

Beachte: Bei negativem Streckfaktor liegt die Bildfigur auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums.

Beachte beim Kreis: Bestimme die Position des Mittelpunkts und bestimme auch den Radius mit dem Streckfaktor.

Streckzentrum von zwei Kreisen

Bei zwei Kreisen kann man zwei Streckzentren zeichnen.

VORGEHEN

1.	Verbinde beide Mittelpunkte mit einer Linie ( $l$ ).
2.	Zeichne eine beliebige Gerade ( $p$ ) durch den Mittelpunkt des ersten Kreises. Zeichne eine parallele Gerade ( $p'$ ) durch den Mittelpunkt des zweiten Kreises.
STRECKZENTRUM MITTIG
3.	Zeichne eine Verbindungslinie ( $s$ ) vom Schnittpunkt der ersten Linien ( $p$ ) mit dem ersten Kreis zum gegenüberliegenden Schnittpunkt der parallelen Linien ( $p'$ ) mit dem zweiten Kreis.
4.	Im Schnittpunkt dieser Linie ( $s$ ) mit der Mittelpunktlinie ( $l$ ) befindet sich das Streckzentrum $Z.$

STRECKZENTRUM AUSSEN
3.	Zeichne eine Verbindungslinie ( $s$ ) vom Schnittpunkt der ersten Linien ( $p$ ) mit dem ersten Kreis zum gleichseitigen Schnittpunkt der parallelen Linien ( $p'$ ) mit dem zweiten Kreis.
4.	Im Schnittpunkt dieser Linie ( $s$ ) mit der Mittelpunktlinie ( $l$ ) befindet sich das Streckzentrum .

Innenfigur zeichnen

Durch Streckung eine Innenfigur konstruieren.

VORGEHEN

1.	Wähle die Mitte der Strecke im Halbkreis oder den Mittelpunkt eines ganzen Kreises als Streckzentrum.
2.	Zeichne die gewünschte Figur als Miniatur mittig ans Streckzentrum. Halte dabei die gewünschte Seitenverhältnisse ein.
3.	Zeichne Verbindungslinien durch das Streckzentrum und die Eckpunkte der Miniaturfigur.
4.	Strecke die Figur maximal, sodass die Eckpunkte auf der äusseren Figur liegen.

Beispiel

Ziel	Konstruktion

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Ähnlichkeit von Figuren bestimmen

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Wie mache ich eine zentrische Streckung?

Antwort: 1. Zeichne jeweils eine Linie durch jeden Punkt der Originalfigur und das Streckzentrum. 2. Bestimme die Abstände der Punkte der Bildfigur vom Streckzentrum. 3. Zeichne mit dem Streckfaktor alle Bildpunkte und Linien der Bildfigur ein.
Frage: Was ist der Streckungsfaktor K?

Antwort: Der Streckfaktor k ist das Verhältnis zwischen: Seitenlängen von Original- und Bildfigur und Abständen vom Streckzentrum zu Original- und Bildfigur.
Frage: Was ist eine zentrischen Streckung?

Antwort: Bei der zentrischen Streckung wird eine Figur verkleinert, vergrößert und/oder gespiegelt. Verbindest Du mehrere Originalpunkte mit ihren Bildpunkten, so treffen sich die Verbindungslinien immer in einem Punkt, dem Streckzentrum Z.

Theorie

Übungen

Unbegrenzte Macht

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Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Definition

Eigenschaften gestreckter Figuren

Streckfaktor k

Negative Streckfaktor

Umkehrung des Streckfaktors

Flächen und Volumen

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Streckfaktor bestimmen

VORGEHEN

Bildfigur zeichnen

VORGEHEN

Streckzentrum von zwei Kreisen

VORGEHEN

STRECKZENTRUM MITTIG

STRECKZENTRUM AUSSEN

Innenfigur zeichnen

VORGEHEN

Beispiel

Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Definition

Eigenschaften gestreckter Figuren

Streckfaktor k

Negative Streckfaktor

Umkehrung des Streckfaktors

Flächen und Volumen

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Streckfaktor bestimmen

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Bildfigur zeichnen

VORGEHEN

Streckzentrum von zwei Kreisen

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STRECKZENTRUM MITTIG

STRECKZENTRUM AUSSEN

Innenfigur zeichnen

VORGEHEN

Beispiel

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