Satz des Pythagoras im Raum

Anwendung des Satz des Pythagoras im Raum

Berechnung von Längen im 3-dimensionalen Raum

​$$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$​​

Die Längen $$a,b$$​  und $$c$$​  müssen jeweils im rechten Winkel zueinander stehen.

Beweis / Herleitung:

Die Formel lässt sich sehr leicht über das folgende Standardbeispiel herleiten. Gesucht ist die Länge $$y$$​  der Diagonale des Quaders:

Schritt 1:

Berechne die Länge  mit dem Satz des Pythagoras in zwei Dimensionen:

$$x=\sqrt{9^2+12^2}\,cm$$​​

Schritt 2:

Berechne die Länge  mit dem Satz des Pythagoras in zwei Dimensionen:

$$y=\sqrt{x^2+8^2}\,cm$$​​

Schritt 3:

Forme um:

$$y=\sqrt{x^2+8^2}\,cm=\sqrt{\sqrt{9^2+12^2}^2}\,cm=\sqrt{9^2+12^2+8^2}\,cm=\underline{17\,cm}$$​​

Siehe, dass die Formel in drei Dimensionen stimmt.