Proporzioni e le proprietà

​​Definizione

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti.

Si può dire che quattro numeri formano una proporzione se il rapporto tra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto:

$$a:b=c:d$$

• $$a$$ e $$c$$ sono due antecedenti;
• $$b$$ e $$d$$ sono due conseguenti;
• $$a$$ e $$d$$ sono due estremi;
• ​$$b$$ e $$c$$ sono due medi.​
  

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Proporzione continua

Una proporzione si dice continua quando i due medi sono uguali.

Esempio

​$$4:6=6:9$$​​

Proprietà delle proporzioni

​​Proprietà fondamentale

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

se $$a:b=c:d$$ allora $$a\cdot d=b\cdot c$$.

Esempio

Se $$6:3=8:4$$ allora $$6\cdot 4 = 3\cdot 8$$.

Proprietà dell'invertire

Scambiando ciascun antecedente con il rispettivo conseguente si ottiene una nuova proporzione:

se $$a:b=c:d$$ allora $$b:a=d:c$$.

Esempio

Se $$6:3=8:4$$ allora $$3:6=4:8$$.

Proprietà del permutare

Scambiando tra loro i due medi o i due estremi o entrambi si ottiene una nuova proporzione.

Se $$a:b=c:d$$  allora:

•  $$a:c=b:d$$ scambiando i medi;
•  $$d:b=c:a$$ scambiando gli estremi;
  
•  $$d:c=b:a$$ scambiando medi ed estremi.

Esempio

Se $$6:3=8:4$$ allora:

•  $$6:8=3:4$$ scambiando i medi;
•  $$4:3=8:6$$ scambiando gli estremi;
•  $$4:8=3:6$$ scambiando entrambi.

Proprietà del comporre

La somma tra primo e secondo termine sta al primo come la somma tra terzo e quarto termine sta al terzo; ma anche, la somma tra primo e secondo termine sta al secondo come la somma tra terzo e quarto termine sta al quarto.

Se $$a:b=c:d$$ allora:

•  $$(a+b):a=(c+d):c$$
  
•  $$(a+b):b=(c+d):d$$
  

Esempio

Se $$6:3=8:4$$ allora:

•  $$9:6=12:8$$ nel primo caso;
•  $$9:3=12:4$$ nel secondo caso.

Proprietà dello scomporre

Se il primo termine è maggiore del secondo, e di conseguenza il terzo maggiore del quarto, allora la differenza tra il primo e il secondo sta al primo come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo; ma anche, la differenza tra primo e secondo sta al secondo come la differenza tra terzo e quarto sta al quarto.

La stessa cosa vale, coi termini delle differenze invertiti, se il secondo è maggiore del primo, e di conseguenza il quarto maggiore del terzo.

Se $$a:b=c:d$$ (con $$a>b$$) allora:

•  $$(a-b):a=(c-d):c$$​​
  
•  $$(a-b):b=(c-d):d$$
  

Esempio

Se $$6:3=8:4$$ allora:

•  $$3:6=4:8$$ nel primo caso;
•  $$3:3=4:4$$ nel secondo caso.

Calcolare il termine incognito in una proporzione

​​Calcolo di un estremo incognito

Se l'incognita si trova in uno dei due estremi, è uguale al prodotto dei medi diviso l'altro estremo.

Esempio

​Se $$x:6=6:9$$ allora $$x=\dfrac{6\cdot 6}{9}=4$$.

Calcolo di un medio incognito

Se l'incognita si trova in uno dei due medi, è uguale al prodotto degli estremi diviso l'altro medio.

Esempio

​Se $$4:x=6:9$$ allora $$x=\dfrac{4\cdot 9}{6}=6$$.

Calcolo dei medi in una proporzione continua

Il valore dei medi è uguale alla radice quadrata del prodotto degli estremi.

Esempio

Se $$4:x=x:9$$ allora per la proprietà fondamentale $$x\cdot x=4\cdot 9$$, quindi $$x=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$$.

Calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la differenza e il rapporto

Per calcolare il valore di due numeri di cui sono noti la somma (o la differenza) e il rapporto occorre applicare la proprietà del comporre (o dello scomporre).

Esempio

 Se $$a+b=30$$ e $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$$ si può scrivere come la proporzione $$a:b=3:2$$ ricordando che la somma di delle due incognite è $$30$$.

Applicando i due casi della proprietà del comporre si ottengono i valori di $$a$$ e $$b$$:

nel primo caso $$30:a=5:3$$, quindi $$a=\dfrac{30\cdot 3}{5}=18$$;

nel secondo caso $$30:b=5:2$$, quindi $$b=\dfrac{30\cdot 2}{5}=12$$.

Nota bene: se invece della somma il dato avesse fornito la differenza, avresti dovuto applicare i due casi della proprietà dello scomporre.