Approssimazione radice quadrata

Numeri quadrati e irrazionali

Un numero quadrato o quadrato perfetto è un numero naturale la cui radice quadrata è anch'essa un numero naturale.

Esempio

​$$9$$ è un quadrato perfetto perché $$\sqrt{9}=3$$.​

La maggior parte dei numeri non sono quadrati perfetti e la loro radice è​ un numero decimale illimitato non periodico. Numeri di questo tipo si dicono irrazionali.

Esempio

$$\sqrt{2}=1,41421356$$ è un numero irrazionale perché è un decimale illimitato non periodico.

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Approssimare una radice

Spesso è richiesto di approssimare la radice di un numero che non è un quadrato perfetto. Approssimare un numero significa riscriverlo in forma abbreviata, utilizzando il numero più vicino a quello da approssimare e avente un numero inferiore (prestabilito) di cifre. Dipendentemente dal caso si sceglie di approssimare per difetto o per eccesso.

Terminologia

É possibile scegliere quante cifre utilizzare per approssimare un numero.

Si approssima:

• alle unità se non si considera nessuna cifra oltre il punto (o la virgola);
  
• ai decimi se si considera una sola cifra oltre il punto (o la virgola);
• ai centesimi se si considerano due cifre dopo il punto (o la virgola);
• ai millesimi se si considerano tre cifre dopo il punto (o la virgola).

Approssimazione per difetto

Se la prima cifra da eliminare è $$\le4$$​ allora si approssima per difetto: non si considerano più le cifre oltre l'ultima richiesta.

​​Esempio

Per approssimare $$\sqrt{5}=2,23606798$$ ai decimi, la prima cifra da non considerare è $$3$$. Essendo $$3\le4$$ allora approssimo per difetto, quindi riscrivo $$\sqrt{5}$$ eliminando tutti i numeri a partire dal $$3$$. Ottengo che $$\sqrt{5}=2,2$$.​

Approssimazione per eccesso

Se la prima cifra da eliminare è $$>4$$ allora si approssima per eccesso: non si considerano più le cifre oltre l'ultima richiesta e si aumenta questa di una unità.

Esempio

Per approssimare $$\sqrt{6}=2,44948974$$ ai centesimi, la prima cifra da non considerare è $$9$$​. Essendo $$9>4$$​ allora approssimo per eccesso, quindi riscrivo eliminando tutti i numeri a partire dal $$9$$ e aumento di un'unità il $$4$$​. Ottengo che $$\sqrt{6}=2,45$$​.

Ricorda: per capire quanto vale all'incirca la radice quadrata di un numero $$\alpha$$ che non è un quadrato perfetto, bisogna trovare l'intero più grande il cui quadrato non supera $$\alpha$$ e l'intero più piccolo il cui quadrato supera $$\alpha$$.

Esempio

Il numero intero più grande il cui quadrato non supera $$8$$​ è $$2$$, mentre quello più piccolo il cui quadrato supera $$8$$​ è $$3$$. Quindi la radice quadrata di $$8$$ è un numero compreso tra $$2$$​ e $$3$$​.