Cubo di un binomio

Triplo prodotto

Il triplo prodotto tra due numeri o monomi è il triplo del prodotto tra questi due.

Esempio

Il triplo prodotto tra $a$ e $b$ è $3ab$ .

Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio corrisponde alla potenza terza del binomio.

Esempio

Il cubo del binomio $x+y$ è $(x+y)^3$ .

Prodotto notevole

Esiste un prodotto notevole per il cubo del binomio, cioè una formula che ne semplifica il calcolo. Secondo questa, il cubo del binomio equivale alla somma tra il cubo del primo monomio, il triplo prodotto tra il quadrato del primo e il secondo, il triplo prodotto tra il primo e il quadrato del secondo e il cubo del secondo. Indicando con $a$ e $b$ i due monomi, si scrive in formule:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3$ nel caso di somma tra monomi;

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 -b^3$ nel cado di differenza tra monomi.

Ricorda: $(a + b)^3 \ne a^3 + b^3$ . Si tratta di un errore molto comune!

Essendo complicato lo svolgimento di un cubo di un binomio, è molto utile tenere a mente questo prodotto notevole.

Esempi

$(x-1)^3 = x^3 -3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3-3x^2 + 3x -1$ ma se non avessi usato la formula, allora il calcolo sarebbe stato molto più lungo e complicato:

$(x-1)^3 = (x-1)(x-1)(x-1) = (x^2 -x-x+1)(x-1) = (x^2-2x+1)(x-1) =\\ x^3-x^2-2x^2 + 2x+x-1 = x^3 -3x^2 +3x -1$ .

$(x^2 +5x)^3 = x^6 + 15x^5 + 75x^4 + 125x^3$

$(2x^2 -4)^3 = 8x^6 -48x^4 + 96x^3 - 64$